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Espace d'Arens-Fort

L'espace d'Arens-Fort, nommé d'après les mathématiciens Richard Friederich Arens et Marion Kirk Fort (en), est un espace topologique particulier qui sert souvent de contre-exemple.

Exemple d'un voisinage de (0, 0) : les colonnes 2, 3 et 5 sont les seules à ne pas contenir presque tous les points.

Définition

On considère l'ensemble ℕ2 des couples d'entiers naturels. Pour tout entier n, appelons « n-ième colonne » le sous-ensemble de tous les couples dont la première composante est égale à n. L'espace d'Arens-Fort est l'ensemble ℕ2 muni de la topologie dont les ouverts sont

  • les parties qui ne contiennent pas le point (0, 0),
  • les parties dont « presque toute » colonne contient « presque tous » les entiers, où « presque tous » signifie ici : tous sauf un nombre fini.

Propriétés

Notes et références

  1. Le singleton {(0,0)} est cependant intersection d'une famille dénombrable de voisinages de (0, 0).
  2. Cette démonstration est extraite de (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, § II.26. Arens-Fort space.

Article connexe

Espace de Fort (en)

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