Espace d'Arens-Fort

On considère l'ensemble ℕ² des couples d'entiers naturels. Pour tout entier n, appelons « n-ième colonne » le sous-ensemble de tous les couples dont la première composante est égale à n. L'espace d'Arens-Fort est l'ensemble ℕ² muni de la topologie dont les ouverts sont

• les parties qui ne contiennent pas le point (0, 0),
• les parties dont « presque toute » colonne contient « presque tous » les entiers, où « presque tous » signifie ici : tous sauf un nombre fini.

• L'espace d'Arens-Fort est complètement normal.
• Seules ses parties finies sont compactes. Il en résulte qu'il n'est pas compactement engendré, si bien qu'il n'est ni localement compact, ni séquentiel (en particulier, il n'est pas métrisable).
• Il est trivialement séparable, σ-compact et de Lindelöf.
• Tout point autre que (0, 0) est isolé, donc toute partie contenant (0, 0) est fermée et l'espace est de dimension zéro.
• Aucun voisinage de (0, 0) n'est connexe.
• Le point (0, 0) n'a pas de base de voisinages dénombrable[1].
• Les seules suites convergentes sont les suites stationnaires, car une suite (v_n) à valeurs distinctes de (0, 0) ne peut pas converger vers ce point : c'est immédiat si (v_n) ne prend ses valeurs que dans un nombre fini de colonnes et sinon, soit (w_n) une sous-suite de (v_n) comportant au plus un point par colonne, alors ℕ² privé de l'ensemble des w_n est un voisinage de (0, 0) donc (w_n) ne converge pas vers (0, 0) et a fortioti (v_n) non plus[2].
• Le point (0, 0) est pourtant valeur d'adhérence de toute suite exhaustive d'éléments de ℕ²\{(0, 0)}.
• L'espace n'est pas extrêmement discontinu (en), car l'adhérence de l'ouvert U constitué par exemple des colonnes impaires n'est pas un ouvert : c'est l'ensemble U∪{(0, 0)}.

• (en) Richard Arens, « Note on convergence in topology », Mathematics Magazine, vol. 23,‎ 1950, p. 229-234 (DOI 10.2307/3028991)
• (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Arens-Fort-Raum » (voir la liste des auteurs).

Espace de Fort (en)