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Ensemble d'arrivée

En mathĂ©matiques, pour une application ou une fonction[1] donnĂ©e f : A → B, l'ensemble B est appelĂ© l'ensemble d'arrivĂ©e (on dit parfois le but de f ou le codomaine de f).

Diagramme sagittal d'une application d'ensemble de départ A = {1,2,3,4} et d'ensemble d'arrivée B = {a,b,c,d}. Ici, l'image {b,c,d} de cette fonction est différente de son ensemble d'arrivée.

L'ensemble d'arrivĂ©e ne doit pas ĂȘtre confondu avec l'image f(A) de f, qui est en gĂ©nĂ©ral seulement un sous-ensemble de B.

Exemple

Soit la fonction f sur l'ensemble des nombres réels définie par

L'ensemble d'arrivée de f est mais f(x) ne prend jamais de valeurs négatives. L'image est en fait l'intervalle des réels positifs.

.

Nous aurions pu définir une fonction g ainsi :

Tandis que f et g ont le mĂȘme effet quand elles sont appliquĂ©es Ă  un nombre rĂ©el donnĂ©, les fonctions sont diffĂ©rentes puisqu'elles ont des ensembles d'arrivĂ©e diffĂ©rents.

Surjectivité

L'ensemble d'arrivée peut avoir un effet sur la surjectivité d'une fonction ; dans notre exemple, g est surjective alors que f ne l'est pas.

De maniĂšre gĂ©nĂ©rale, une application f : A → B est surjective si, et seulement si, son image est Ă©gale Ă  son ensemble d'arrivĂ©e, c'est-Ă -dire .

À noter qu'on peut toujours, Ă  partir d'une application construire une application surjective en restreignant son ensemble d'arrivĂ©e Ă  l'image de : l'application dĂ©finie par pour tout dans est surjective.

Voir aussi

Article connexe

Ensemble de définition

Notes

  1. Selon les sources, il y a distinction ou non entre les notions de fonction et d'application, voir Application_(mathématiques)#Fonction_et_application pour plus de détails. Ce qui est énoncé dans cet article est valable que la distinction soit faite ou non.

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de l’article de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Codomain » (voir la liste des auteurs).
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