Ensemble d'arrivée

Soit la fonction f sur l'ensemble des nombres réels définie par

${\displaystyle {\begin{matrix}f&:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &x^{2}.\end{matrix}}}$

L'ensemble d'arrivée de f est ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mais f(x) ne prend jamais de valeurs négatives. L'image est en fait l'intervalle ${\displaystyle \left[0,+\infty \right[=\mathbb {R} _{+}}$ des réels positifs.

${\displaystyle f\left(\mathbb {R} \right)=\left[0,+\infty \right[}$.

Nous aurions pu définir une fonction g ainsi :

${\displaystyle {\begin{matrix}g&:&\mathbb {R} &\to &\left[0,+\infty \right[\\&&x&\mapsto &x^{2}.\end{matrix}}}$

Tandis que f et g ont le même effet quand elles sont appliquées à un nombre réel donné, les fonctions sont différentes puisqu'elles ont des ensembles d'arrivée différents.

L'ensemble d'arrivée peut avoir un effet sur la surjectivité d'une fonction ; dans notre exemple, g est surjective alors que f ne l'est pas.

De manière générale, une application f : A → B est surjective si, et seulement si, son image est égale à son ensemble d'arrivée, c'est-à-dire ${\displaystyle f(A)=B}$.

À noter qu'on peut toujours, à partir d'une application ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ construire une application surjective en restreignant son ensemble d'arrivée à l'image de ${\displaystyle f}$ : l'application ${\displaystyle g:A\rightarrow f(A)}$ définie par ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ pour tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle A}$ est surjective.