Empilement de cercles

Un empilement d'une partie fermée X du plan euclidien dont toute intersection avec un disque est quarrable (i.e. possède une aire), est un ensemble de cercles de rayons non nuls inclus dans X dont les disques fermés associés ont les propriétés suivantes :

- deux disques de l'empilement sont tangents ou d'intersection vide,

- tout disque est tangent à au moins un autre.

L'empilement est dit localement rigide (localy jammed en anglais) si tout disque est coincé par ses voisins, autrement dit si deux disques tangents à un disque D sans aucun autre disque tangent à D entre eux ont des centres formant un angle aigu avec le centre de D [1].

L'empilement est dit compact si tout disque tangent à un disque D est tangent à deux autres disques tangents à D ou ce qui est équivalent, si le graphe planaire dont les sommets sont les centres des disques et les arêtes les segments joignant les centres de deux disques tangents a des faces triangulaires [2].

Empilement complet de cercles dans un triangle.

La densité d'un empilement est le rapport de l'aire couverte par les disques à l'aire de la partie X (si X est non bornée, c'est la limite, si elle existe, de la densité de l'intersection avec un disque de rayon tendant vers l'infini).

L'empilement est dit complet si on ne peut lui rajouter de disque, autrement dit si sa densité est égale à 1 [3].

Un empilement est forcément dénombrable ou fini, tout disque contenant un point à coordonnées rationnelles.

Empilement binaire compact de cercles avec deux types de cercles de tailles les plus proches possibles [2]. C'est aussi l’empilement binaire le plus dense de disques avec ce rapport de taille (rapport de 0,6375559772 avec une densité de 0,910683) [10].

Un problème concernant les empilements consiste à trouver la densité maximale d'un empilement comportant des cercles de deux tailles différentes (un empilement binaire). Seules neuf possibilités pour les rapports des rayons des deux types de cercles permettent un empilement compact [2]. Pour ces neuf rapports de rayons, on connaît un empilement compact qui atteint la densité maximale théorique, laquelle est plus forte que celle de l'empilement optimal des disques de même taille [11] - [12].

On sait également que si le rapport des rayons est supérieur à 0,742, un empilement binaire compact est toujours moins dense que l'empilement optimal des disques de même taille[10] - [13].

L'empilement présenté ci-contre est issu d'une œuvre réalisée par Daniel Buren, dénommée "Excentrique(s), travail in situ", qu'il a réalisée au Grand Palais à Paris en 2012. Elle est issue d'un pavage du Palais de l'Alhambra à Grenade.

L'empilement comporte cinq types de cercles dont les rapports des rayons ont des expressions irrationnelles complexes. Sa densité est de 0,908 environ[14].

Quinze cercles identiques empilés dans le plus petit carré possible. Il existe seulement quatre arrangements de ces cercles en triangles équilatéraux.

On peut placer N biscuits ronds de rayon 1 dans une boite rectangulaire de taille N x 4, mais pour ${\displaystyle N\geqslant 336}$, on peut en placer ${\displaystyle N+1}$[15].

Empiler des cercles de même rayon dans des parties bornées simples est un problème courant en mathématiques récréatives. La frontière de la partie jouent alors un rôle important, et le remplissage hexagonal n'est généralement pas optimal lorsqu'il y a un petit nombre de cercles[16].

Voir les pages wikipedia suivantes :

• Empilements de cercles dans un cercle
• Empilements de cercles dans un carré
• Empilements de cercles dans un triangle équilatéral
• Emballage de cercles dans un triangle rectangle isocèle

• Empilements de sphères
• Problème de Tammes (empilements de cercles sur une sphère)

• Cercles d'Apollonius (fractale) (empilement complet de cercles dans un cercle)
• Conjecture de Kepler
• Cercles de Malfatti

• Stephenson, « Circle Packing: A Mathematical Tale », Notices of the American Mathematical Society, vol. 50, n^o 11,‎ décembre 2003 (lire en ligne)