Empilement de cercles dans un cercle

L'empilement de cercles dans un cercle est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques de nombre $n$ dans le cercle le plus petit possible.

Le tableau suivant présente une solution minimale (dans le cas où plusieurs solutions minimales existent, une seule variante apparaît dans le tableau)[1] :

Nombre de cercles unités de nombre $n$	Rayon du cercle extérieur	Densité	Optimalité
1	1	1,0000	Trivial
2	2	0,5000	Trivial
3	$1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 2{,}154...$	0,6466...	Trivial
4	$1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}414...$	0,6864...	Trivial
5	$1+{\sqrt {2\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)}}\approx 2{,}701...$	0,6854...	Trivial Aussi prouvé optimal par Graham (1968)[2]
6	3	0,6667...	Trivial Aussi prouvé optimal par Graham (1968)[2]
7	3	0,7778...	Trivial
8	$1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right)}}\approx 3,304...$	0,7328...	Prouvé optimal par Pirl (1969)[3]
9	$1+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}\approx 3,613...$	0,6895...	Prouvé optimal par Pirl (1969)[3]
10	3,813...	0,6878...	Prouvé optimal par Pirl (1969)[3]
11	$1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{9}}\right)}}\approx 3,923...$	0,7148...	Prouvé optimal par Melissen (1994)[4]
12	4,029...	0,7392...	Prouvé optimal par Fodor (2000)[5]
13	$2+{\sqrt {5}}\approx 4,236...$	0,7245...	Prouvé optimal par Fodor (2003)[6]
14	4,328...	0,7474...	Conjecturé optimal[7]
15	$1+{\sqrt {6+{\frac {2}{\sqrt {5}}}+4{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}\approx 4,521...$	0,7339...	Conjecturé optimal[7]
16	4,615...	0,7512...	Conjecturé optimal[7]
17	4,792...	0,7403...	Conjecturé optimal[7]
18	$1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}\approx 4,863...$	0,7611...	Conjecturé optimal[7]
19	$1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}\approx 4,863...$	0,8034...	Prouvé optimal par Fodor (1999)[8]
20	5,122...	0,7623...	Conjecturé optimal[7]

Références

Erich Friedman, Circles in Circles on Erich's Packing Center
R.L. Graham, Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921), Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.
U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.
H. Melissen, Densest packing of eleven congruent circles in a circle, Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.
F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) ?, 401–409.
F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.
Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ,Ostergard PRJ. Dense packings of congruent circles in a circle. Discrete Math 1998;181:139–154.
F. Fodor, The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle, Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.

Liens externes

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