Empilement de cercles dans un carré

L'empilement de cercles dans un carré est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques de nombre $n$ dans le carré le plus petit possible. De manière équivalente, l'objectif est de disposer $n$ points dans un carré visant à obtenir le moins de séparation, d_n, entre les points[1].

Pour passer d'une formulations du problème à l'autre, le côté du carré des cercles unitaires sera $L=2+{\frac {2}{d_{n}}}$ .

Des solutions (pas nécessairement optimales) ont été calculées pour chaque $n$ ≤10 000[2]. Les solutions allant jusqu'à $n$ = 20 sont indiquées ci-dessous[2].

Nombre de cercles (n)	Longueur du côté du carré (L)	d_n[1]	Densité (n/L^2)
1	2	∞	0,25
2	$2+{\sqrt {2}}$ ≈ 3,414...	${\sqrt {2}}$ ≈ 1,414...	0,172...
3	$2+{\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {6}}{2}}$ ≈ 3,931...	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$ ≈ 1,035...	0,194...
4	4	1	0,25
5	$2+2{\sqrt {2}}$ ≈ 4,828...	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ ≈ 0,707...	0,215...
6	$2+{\frac {12}{\sqrt {13}}}$ ≈ 5,328...	${\frac {1}{6}}{\sqrt {13}}$ ≈ 0,601...	0,211...
7	$4+{\sqrt {3}}$ ≈ 5,732...	$4-2{\sqrt {3}}$ ≈ 0,536...	0,213...
8	$2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ ≈ 5,863...	${\frac {1}{2}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})$ ≈ 0,518...	0,233...
9	6	0,5	0,25
10	6,747...	0,421... A281065	0,220...
11	7,022...	0,398...	0,223...
12	$2+15{\sqrt {\frac {2}{17}}}$ ≈ 7,144...	0,389...	0,235...
13	7,463...	0,366...	0,233...
14	$6+{\sqrt {3}}$ ≈ 7,732...	0,348...	0,226...
15	$4+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ ≈ 7,863...	0,341...	0,243...
16	8	0,333...	0,25
17	8,532...	0,306...	0,234...
18	$2+{\frac {24}{\sqrt {13}}}$ ≈ 8,656...	0,300...	0,240...
19	8,907...	0,290...	0,240...
20	${\frac {130}{17}}+{\frac {16}{17}}{\sqrt {2}}$ ≈ 8,978...	0,287...	0,248...

Références

Hallard T. Croft, Falconer, Kenneth J. et Guy, Richard K., Unsolved Problems in Geometry, New York, Springer-Verlag, 1991, 108–110 p. (ISBN 0-387-97506-3)
Eckard Specht, « The best known packings of equal circles in a square », 20 mai 2010 (consulté le 25 mai 2010)

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