Degré d'une application

Soient M et N deux variétés différentielles (sans bord) orientées et de même dimension, telles que M soit compacte et N soit connexe.

Soit f une application différentiable de M dans N.

(La définition peut aussi s'étendre aux variétés à bord à condition que la fonction f préserve le bord.)

D'après le théorème de Sard, il existe un point y de N qui soit une valeur régulière de f.

En tout point x de la préimage ${\displaystyle \ f^{-1}(\{y\})}$, la différentielle ${\displaystyle \mathrm {D} _{x}f}$ induit donc une application linéaire surjective entre les espaces tangents (orientés) ${\displaystyle \ T_{x}M}$ et ${\displaystyle \ T_{y}N}$.

Par égalité des dimensions, ces applications linéaires sont des isomorphismes d'espaces vectoriels orientés.

Leur signe, noté ${\displaystyle \operatorname {sign} (\mathrm {D} _{x}f)}$, est défini comme égal à +1 si ${\displaystyle \mathrm {D} _{x}f}$ préserve l'orientation et à –1 sinon.

Par compacité de M, la préimage ${\displaystyle \ f^{-1}(\{y\})}$ est finie et le degré de f en y peut donc se définir par la somme :

${\displaystyle \deg(f,y)=\sum _{x\in f^{-1}(y)}{\operatorname {sign} (\mathrm {D} _{x}f)}.}$

Le signe de cet entier dépend du choix des orientations de M et N. Pour des variétés orientables mais non orientées, le degré de f en y n'est donc défini que comme un entier naturel.

Si les variétés M et N ne sont pas toutes deux orientables, le degré de f en une valeur régulière y peut simplement se définir par la parité du cardinal de la préimage, autrement dit :

${\displaystyle \deg(f,y)=\sum _{x\in f^{-1}(y)}{1}\in \mathbb {Z} /(2)}$.

Le résultat de ce calcul est indépendant du choix de la valeur régulière. Le degré de f est donc noté simplement deg(f).

• L'application identité est de degré 1.
• L'application antipodale sur la sphère Sⁿ est de degré (–1)ⁿ⁺¹.
• Si l'application f n'est pas surjective, un point de N qui n'est pas dans l'image de f est une valeur régulière donc le degré de f vaut zéro.
  C'est notamment le cas si N est non compacte, ou si f est constante et N non réduite à un point.
• Si f est un revêtement de variétés différentielles compactes orientables sans bord, le degré de f est égal au nombre de feuillets.

L'intérêt principal de cette notion réside dans le fait que si deux applications sont homotopes, elles ont même degré.

Par conséquent, les sphères Sⁿ ne sont pas contractiles et l'application antipodale n'est pas homotope à l'identité sur les sphères paires.

Le degré constitue même un invariant complet pour les sphères : deux applications de Sⁿ dans Sⁿ sont homotopes si et seulement si elles ont même degré.

Plus généralement, le théorème de Hopf[1] - [2] assure que pour toute variété M de dimension n, orientable, compacte et sans bord, deux applications continues de M dans Sⁿ sont homotopes si (et seulement si) elles ont même degré.

Soit M et N deux variétés compactes orientées et de même dimension n, dont les classes d'orientation respectives sont notées [M] et [N]. La condition d'orientation peut être retirée si les groupes d'homologie sont calculés à coefficients dans ℤ/(2).

Si la variété N est connexe, la classe [N] est un générateur du groupe ${\displaystyle H_{n}(N,\partial N)}$.

Soit f une application continue de M dans N qui préserve le bord. L'application ${\displaystyle f_{*}}$ induite en homologie associe à la classe [M] un élément λ[N] de ${\displaystyle H_{n}(N,\partial N)}$.

Le nombre λ est alors appelé degré de f et noté deg(f).

La propriété d'excision de l'homologie permet de montrer que cette définition étend celle donnée par la géométrie différentielle.

Plus généralement, la notion de degré peut être étendue à toute application entre paires d'espaces munis de classe génératrice d'un groupe d'homologie en une dimension fixée. Ceci permet notamment de parler de degré pour une application entre complexes de Poincaré (en) ou entre espaces de Thom.

Le degré est donc un invariant homologique.

Par dualité de Poincaré en utilisant la cohomologie de De Rham, le degré peut aussi s'obtenir en intégrant sur la variété source une forme volume de la variété but.