Déviation géodésique

Pour quantifier l'écart géodésique, on commence par constituer une famille de géodésiques rapprochées indexées par une variable continue s et paramétrée par un paramètre affine τ. C'est-à-dire que pour chaque s fixe, la courbe balayée par γ_s(τ) lorsque τ varie est une géodésique. Lorsque l'on considère la géodésique d'un objet massif, il est souvent pratique de choisir τ comme étant le temps propre de l'objet. Si x^μ(s, τ) sont les coordonnées de la géodésique γ_s(τ), alors le vecteur tangent de cette géodésique est égal à :

${\displaystyle T^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial \tau }}.}$

Si τ est le temps propre, alors T^μ est la quadrivitesse de l'objet se déplaçant le long de la géodésique.

On peut aussi définir un vecteur de déviation, qui est le déplacement de deux objets voyageant le long de deux géodésiques infiniment séparées :

${\displaystyle X^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial s}}.}$

L'accélération relative A^μ des deux objets est définie, en gros, comme la dérivée seconde du vecteur de séparation X^μ lorsque les objets se déplacent le long de leurs géodésiques respectives. Plus précisément, on trouve A^μ en prenant deux fois la dérivée covariante directionnelle de X le long de T :

${\displaystyle A^{\mu }=T^{\alpha }\nabla _{\alpha }\left(T^{\beta }\nabla _{\beta }X^{\mu }\right).}$

L'équation de déviation géodésique relie A^μ, T^μ, X^μ, et le tenseur de Riemann R^μ_νρσ [2] :

${\displaystyle A^{\mu }={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

Une autre notation possible pour la dérivée covariante directionnelle ${\displaystyle T^{\alpha }\nabla _{\alpha }}$ est ${\displaystyle D/d\tau }$. On peut donc aussi écrire l'équation de déviation géodésique comme suit :

${\displaystyle {\frac {D^{2}X^{\mu }}{d\tau ^{2}}}={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

L'équation de déviation géodésique peut être obtenue à partir de la deuxième variation du Lagrangien de la particule ponctuelle le long de sa géodésique, ou de la première variation d'un Lagrangien combiné. Avoir recours à l'approche lagrangienne présente deux avantages. Tout d'abord, cela permet d'utiliser diverses approches formelles de quantification au système de déviation géodésique. Ensuite, cela permet de formuler une déviation pour des objets beaucoup plus généraux que les géodésiques (en fait, pour tout système dynamique dont le moment indexé dans un espace-temps semble avoir une généralisation correspondante de la déviation géodésique).

Il est possible de voir plus clairement le lien entre déviation géodésique et accélération de marée en étudiant la déviation géodésique dans la limite de champ faible, où la métrique est approximativement de Minkowski, et les vitesses des particules test sont supposées être bien inférieures à c. Ensuite, le vecteur de tangente T^μ ressemble à (1, 0, 0, 0), c'est-à-dire que seule la composante temporelle est différente de zéro.

Les composantes spatiales de l'accélération relative sont alors données par :

${\displaystyle A^{i}=-{R^{i}}_{0j0}X^{j},}$

où i et j ne prennent que les indices spatiaux 1, 2 et 3.

Dans le cas particulier d'une métrique correspondant au potentiel newtonien Φ(x, y, z) d'un objet massif en x = y = z = 0, on a :

${\displaystyle {R^{i}}_{0j0}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{i}\partial x^{j}}},}$

qui est le tenseur de marée (en) du potentiel newtonien.

• Bernhard Riemann
• Courbure
• Lexique de la géométrie riemannienne

• (en) Hans Stephani, General relativity - an introduction to the theory of the gravitation field, Cambridge University Press, 1982 (ISBN 0-521-37066-3).
• (en) Robert M. Wald, General Relativity, The University of Chicago Press, 1984 (ISBN 978-0-226-87033-5)

• (en) « General Relativity and Quantum Cosmology » [« Relativité générale et cosmologie quantique »]
• (en) « Tensors and Relativity: Geodesic deviation » [« Tenseurs et Relativité : Déviation géodésique »]