Champ de Jacobi

Soit ${\displaystyle M}$ une variété riemannienne, ${\displaystyle I}$ un intervalle de ℝ et ${\displaystyle c}$ : ${\displaystyle I\rightarrow M}$ une courbe différentiable. Un champ de vecteurs le long de ${\displaystyle c}$ est une application : ${\displaystyle I}$${\displaystyle \rightarrow TM}$ telle que, pour tout point ${\displaystyle t\in }$ ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle X(t)\in T_{c(t)}M}$ ; où ${\displaystyle TM}$ désigne le fibré tangent à ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle T_{m}}$M, l’espace vectoriel tangent au point ${\displaystyle m\in M}$. Un champ de vecteurs ${\displaystyle J}$ le long d'une géodésique c est appelé champ de Jacobi s'il satisfait l'équation de Jacobi :

${\displaystyle \nabla _{\dot {c}}\left(\nabla _{\dot {c}}J\right)+R(J,{\dot {c}}){\dot {c}}=0}$

Où, dans cette équation, ${\displaystyle \nabla }$ désigne la connexion de Levi-Civita de ${\displaystyle M}$ et R son tenseur de courbure.

En gros, deux points d’une variété riemannienne sont dits conjugués s’ils peuvent presque être joints par une famille (à 1 paramètre) de géodésiques. L’exemple le plus frappant est donné par le pôle nord et le pôle sud sur la sphère, qui peuvent être joints par tout méridien. On montre qu'une variété riemannienne de courbure sectionnelle constante ${\displaystyle \kappa }$ possède des points conjugués si et seulement si ${\displaystyle \kappa >0}$.

• (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin et Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [détail de l’édition]

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jacobi field » (voir la liste des auteurs).