Théorème de Cartan-Hadamard

L'énoncé utilise les notions de base de la topologie et de la géométrie riemannienne. Le théorème portera sur une variété complète au sens topologique ; mais il convient de rappeler que par le théorème de Hopf-Rinow, cela garantit que les géodésiques peuvent être prolongées indéfiniment et que l'application exponentielle en un point m est définie sur tout l'espace tangent en m[2].

L'idée centrale est de considérer l'équation d'évolution ${\displaystyle J''+R(J,c')c'=0}$ d'un champ de Jacobi J le long d'une géodésique c donnée. On en déduit la variation du carré N de sa norme, qui fait apparaître la courbure sectionnelle

${\displaystyle N'={\frac {\mathop {d} }{\mathop {d} t}}{\bigl (}g(J,J){\bigr )}=2g(J',J')+2g(J'',J)=2g(J',J')-2g{\bigl (}R(c',J)c',J{\bigr )}\geq 0}$

Ainsi cette fonction N est convexe. Si J est nulle à l'origine, N et sa dérivée le sont également et J est constamment nulle. Aucun point de la géodésique ne peut donc avoir de conjugué, et l'application ${\displaystyle \exp _{m}}$ constitue un difféomorphisme local[4].

On utilise alors ce difféomorphisme local pour ramener la métrique sur l'espace tangent ${\displaystyle T_{m}M}$, ce qui en fait une isométrie locale. L'espace tangent admet les rayons issus de l'origine pour géodésiques. Cela montre qu'il est lui-même complet et qu'il constitue en fait un revêtement riemannien de M[5] - [6].

• Application exponentielle
• Courbure négative

• (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry, 2003 [détail de l’édition], p. 254-257
• (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin et Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [détail de l’édition] p. 134
• (en) Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 2002 [détail des éditions] p. 202-206