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Force de marée

La force de marée est une force qui s'exerce cycliquement sur les couches superficielles de deux corps célestes qui tournent autour du centre d'inertie du systÚme, et qui est à l'origine des marées (sur Terre, les marées océaniques, atmosphériques et terrestres). Elle résulte du déséquilibre entre la force d'attraction gravitationnelle des deux corps et la force d'inertie d'entraßnement due au mouvement de révolution.

La comĂšte Shoemaker-Levy 9 en 1994 aprĂšs avoir Ă©tĂ© brisĂ©e par les forces de marĂ©e de Jupiter au cours d’un passage prĂ©cĂ©dent, en 1992.

Principe

Principe de base

Les forces d'attraction qu'exerce l'astre 1 sur les astres 2 et 3, notées F1/2 et F1/3, peuvent se décomposer en une composante moyenne F et une composante différentielle f1/2 et f1/3. Cette composante différentielle tend à éloigner les astres 2 et 3 (haut) ou à les rapprocher (bas).

Imaginons deux masses d'un mĂȘme cĂŽtĂ© d'un astre et alignĂ©es sur la direction de cet astre qu'on nommera par la suite « primaire » (mais qui n'est pas forcĂ©ment le plus massif des trois), qui les attire. En vertu de la loi d'attraction universelle, la plus proche de l'astre sera plus attirĂ©e que l'autre et tendra donc Ă  s'en sĂ©parer. Imaginons maintenant une autre configuration oĂč la ligne qui joint les deux masses est perpendiculaire Ă  la ligne qui va de leur centre de masse Ă  l'astre. Les forces d'attraction ont des directions convergentes (vers l'astre) ; ainsi les masses auront une tendance Ă  se rapprocher. Ainsi, l'astre primaire sera Ă  la fois responsable du mouvement accĂ©lĂ©rĂ© de l'ensemble des deux masses, plus prĂ©cisĂ©ment de leur centre de masse, mais aussi responsable de forces qui rĂ©gissent le mouvement relatif de ces deux masses et qu'on appelle forces de marĂ©e. La force de marĂ©e est donc une interaction gravitationnelle indirecte entre ces masses induite par un ou plusieurs astres primaires.

L'expression exacte de cette force de marĂ©e sera dĂ©rivĂ©e plus loin. Le rĂ©sultat essentiel, dans le cas le plus frĂ©quent oĂč une des masses, par exemple la Terre, est beaucoup plus grande que l'autre, par exemple une petite masse d'eau de l'ocĂ©an ou un satellite de la Terre, et oĂč la distance qui les sĂ©pare est beaucoup plus petite que la distance Ă  l'astre primaire (la distance Terre-Lune par exemple), est que dans la configuration alignĂ©e cette force de marĂ©e est « centrifuge » et a pour intensitĂ©

oĂč r est la distance de la masse d'eau au centre de la Terre, m la masse d'eau, R la distance Terre Lune (la Lune est l'astre primaire ici), la masse de la Lune, et G la constante universelle de la gravitation. Dans l'autre configuration envisagĂ©e, la force de marĂ©e est « centripĂšte » et deux fois moins intense.

Cette force de marĂ©e, s'exerçant entre les constituants d'un satellite (dans ce cas, les deux masses considĂ©rĂ©es sont parties intĂ©grantes d'un seul et mĂȘme corps), tend Ă  le dĂ©former, voire parfois Ă  le briser (voir la photographie de la brisure de la comĂšte Shoemaker-Levy 9 par les forces de marĂ©e dues Ă  Jupiter) lorsque la force de marĂ©e centrifuge l'emporte sur l'interaction gravitationnelle directe des deux parties ou sur les forces de cohĂ©sion de ces mĂȘmes parties (voir ci-dessous la sous-section sur la limite de Roche).

Dans le cas oĂč ce satellite a une rotation propre non synchrone avec sa rĂ©volution autour de l'astre, la dĂ©formation pĂ©riodique qui en rĂ©sulte est responsable des marĂ©es ocĂ©aniques et/ou terrestres. De plus cette dĂ©formation pĂ©riodique entraĂźne, par le biais des forces de friction, un Ă©chauffement du satellite. Ces forces de friction sont aussi Ă  l'origine d'un couple qui tend Ă  synchroniser sa rotation propre et sa rĂ©volution autour de l'astre, comme c'est dĂ©jĂ  le cas pour la Lune qui nous montre toujours la mĂȘme face. Ce mĂȘme phĂ©nomĂšne est Ă©galement responsable du ralentissement progressif de la rotation de la Terre d'environ ms/siĂšcle. Ces forces de friction sont enfin responsables de la modification de l'orbite, le satellite pouvant s'Ă©craser sur l'astre ou, au contraire, s'en Ă©loigner comme c'est le cas pour l'orbite de la Lune qui s'Ă©loigne d'environ cm par an de la Terre.

Expression détaillée de la force de marée

Notons m1 et m2 les masses des objets soumis à marée et et les forces exercées par l'astre primaire sur chacune d'elles. L'étude du mouvement relatif se fait dans un référentiel centré au centre de masse des deux masses, noté CM, et dont les axes sont fixes par rapport aux étoiles. Le mouvement d'ensemble des deux masses est régi par la force résultante

et son CM possÚde l'accélération

.

Ce référentiel n'est pas galiléen ; aussi à la force d'attraction, on doit ajouter la force d'inertie qui est l'opposé du produit de la masse par l'accélération. Ainsi la force de marée sur la masse 1 dans ce référentiel non galiléen est

avec l'indice t pour tide (marée en anglais), et l'expression opposée pour la masse 2. Dans la derniÚre expression[1], on a utilisé l'écriture de la force gravitationnelle sur la masse 1

oĂč est le vecteur qui part du CM de l'astre primaire et se termine au CM de la masse 1.

Dans la majorité des situations, le rapport m1/m2 est petit et c'est pourquoi dans l'expression ci-dessus, ce qui fait disparaitre la masse m2 de l'expression. C'est le cas en particulier de la force de marée induite par la Lune entre la Terre (masse m2) et une masse d'eau de l'océan (masse m1) ou un fragment de la croûte terrestre ou un satellite artificiel de la Terre. Alors le centre de masse 1-2 est celui de la masse m2 et on notera le vecteur qui va de l'astre primaire au CM de la masse lourde et le rayon vecteur entre les deux masses, comme sur la figure. On posera

m1 = m

et

.

L'expression de la force de marée devient

On s'intĂ©resse aux situations oĂč r/R est trĂšs petit et oĂč on peut utiliser le dĂ©veloppement limitĂ©

(α = -3/2), ce qui donne

Le premier terme non négligeable est la force de marée représentée en direction et intensité sur la figure[2]

La force de marée induite par la Lune, astre primaire, qui régit le mouvement relatif du satellite S par rapport à la Terre est représentée en rouge en direction et en intensité par les flÚches. Notons la symétrie par rapport au centre de la Terre.

Évidemment, la force de marĂ©e exercĂ©e par la masse m sur M est l'opposĂ©e ; cependant ces forces n'ont pas le mĂȘme support et elles engendrent un couple qui tend Ă  aligner les trois astres. Notons, et ce n'est pas du tout intuitif, que les forces sont opposĂ©es pour deux points opposĂ©s de la masse M (par exemple l'un plus proche de l'astre primaire, l'autre plus loin du cĂŽtĂ© opposĂ© ce qui explique le caractĂšre semi-diurne de nos marĂ©es), et correspondent Ă  des forces centrifuges maximales lorsque les trois masses sont alignĂ©es d'intensitĂ© et Ă  des forces centripĂštes d'intensitĂ© deux fois plus faibles dans le plan Ă©quatorial Ă  cette ligne c’est-Ă -dire .

On peut reprendre pas Ă  pas le mĂȘme raisonnement dans le cas oĂč il y a plusieurs astres primaires induisant une action gravitationnelle indirecte entre les masses 1 et 2 pour montrer que la force de marĂ©e totale est la somme vectorielle des forces de marĂ©e dues Ă  chaque astre avec une intensitĂ© qui va comme le rapport M/R3 de chaque astre primaire. C'est ainsi que les forces de marĂ©es sur et au voisinage de la Terre, dues au Soleil reprĂ©sentent la moitiĂ© de celles dues Ă  la Lune (le Soleil est situĂ© beaucoup plus loin que la Lune mais sa masse est beaucoup plus importante).

Limite de Roche

La force de marĂ©e centrifuge dans le cas oĂč les deux masses et l'astre primaire sont alignĂ©s peut dĂ©passer l'attraction gravitationnelle directe entre les deux masses. Imaginons par exemple que l'astre primaire soit une planĂšte de masse volumique constante ρP, de rayon RP donc de masse

,

que la masse m2 soit un satellite naturel de rayon RS fait de matiĂšre de masse volumique ρS donc de masse

.

À la surface du satellite sur une masse test m1 = m, la force centrifuge de marĂ©e due Ă  la planĂšte est Ă©gale, ainsi que nous l'avons vu, Ă 

oĂč d est la distance du satellite Ă  sa planĂšte. Quant Ă  la force d'attraction gravitationnelle que le satellite exerce sur la masse test, elle vaut, en vertu de la loi de Newton

.

Tant que la force de marée est inférieure à la force d'attraction, la masse test reste liée au satellite ; dÚs qu'elle devient supérieure la masse test est arrachée. Il existe une limite dR de la distance de la planÚte au satellite, appelée limite de Roche[3], donnée par

Ft = Fa

en deçà de laquelle le satellite se brise sous l'effet de la force de marée. Le calcul de cette limite est immédiat :

.

Marées océanique et terrestre

Cette force de marĂ©e due Ă  la Lune et au Soleil entre la Terre et une masse d'eau de l'ocĂ©an modifie pĂ©riodiquement la surface du globe qui tourne sur lui-mĂȘme, ce qui se traduit par les marĂ©es ocĂ©aniques. Mais il en est de mĂȘme pour un fragment de la croĂ»te terrestre bien que solide ; ce phĂ©nomĂšne constitue les marĂ©es terrestres. Il en rĂ©sulte une dĂ©formation pĂ©riodique de la surface de la Terre et des ocĂ©ans.

Pour estimer l'ordre de grandeur de cette dĂ©formation, imaginons le gĂ©oĂŻde terrestre comme une goutte liquide statique. Sa surface doit ĂȘtre une Ă©quipotentielle de la somme des potentiels gravitationnel, centrifuge (rotation propre de la Terre) et de marĂ©e. Si on ne prend pas en compte ce potentiel de marĂ©e, cette Ă©quipotentielle est un ellipsoĂŻde de rĂ©volution Ă©tudiĂ© par Maclaurin. À une altitude z au-dessus de cet ellipsoĂŻde, le potentiel est g z oĂč g est l'accĂ©lĂ©ration locale de la pesanteur.

Il est facile de vérifier que le potentiel dont dérive la force de marée (avec la masse du point matériel considéré) est donné par

En prenant la Lune comme seul astre primaire (R est la distance Terre-Lune), l'équation de l'équipotentielle qui détermine la forme de la surface d'une goutte liquide est

Il existe deux points de la surface () du globe sur la droite partant du centre de la Terre vers la Lune ( parallĂšle Ă  ) oĂč la force de marĂ©e est maximale, centrifuge. Il existe une ligne de points, intersection du globe avec un plan perpendiculaire Ă  cette droite passant par le centre de la Terre, tels que perpendiculaire Ă  . Ainsi, en notant zh et zb les altitudes pour ces deux situations, l'Ă©galitĂ© des potentiels s'Ă©crit, en admettant que l'accĂ©lĂ©ration locale de la pesanteur reste inchangĂ©e,

La différence d'altitude maximale zh - zb (marnage) due à la marée est de

,

soit, tenant compte de la relation

,

environ

.

Cette valeur vaut 0,5 m ; si on tient compte en plus de l'action du Soleil dans une configuration oĂč Terre-Lune-Soleil sont alignĂ©s (syzygie) cette valeur monte Ă  0,75 m. La valeur rĂ©elle des marĂ©es ocĂ©aniques diffĂšre considĂ©rablement de cette valeur.

L'explication de cette diffĂ©rence repose sur de nombreuses considĂ©rations. Il y a d'abord un phĂ©nomĂšne complexe de rĂ©sonance. La pĂ©riode propre des ocĂ©ans est relativement longue, environ 30 heures. Cela veut dire que si la Lune disparaissait soudain, le niveau des ocĂ©ans oscillerait avec une pĂ©riode de 30 heures et une amplitude dĂ©croissant progressivement jusqu'Ă  ce que l'Ă©nergie emmagasinĂ©e soit dissipĂ©e (cette valeur de 30 h est fonction uniquement de la gravitĂ© terrestre et de la profondeur moyenne des ocĂ©ans, on peut consulter l'article Tsunami). La Lune stimule les ocĂ©ans avec une pĂ©riode d'environ 12 heures 25 minutes, la moitiĂ© du jour lunaire. Cette diffĂ©rence entre la pĂ©riode de la stimulation et la pĂ©riode propre d'oscillation explique le retard de marĂ©e d'environ six heures, c'est-Ă -dire que la marĂ©e basse se produit quand la Lune culmine supĂ©rieurement ou infĂ©rieurement, un rĂ©sultat tout Ă  fait opposĂ© Ă  l'intuition commune.

Entre en cause ensuite la topographie : avec une configuration en entonnoir (l'ensemble Manche/baie du mont Saint-Michel est l'un des exemples les plus fameux), l'effet de la marée est localement amplifié. Inversement, une mer fermée comme la Méditerranée connaßt des marées faibles.

La pĂ©riode propre d'oscillation de la croĂ»te terrestre est d'environ 57 minutes, beaucoup plus petite que la pĂ©riode de stimulation de marĂ©e ; aussi la marĂ©e terrestre est-elle en phase avec la Lune. Son amplitude est de l'ordre de quelques dizaines de centimĂštres.

DĂ©jĂ  bien connue des Grecs, qui avaient observĂ© la variation de dĂ©bit des sources liĂ©e aux phases de la Lune, cette marĂ©e terrestre d'environ 25 cm a, un moment, troublĂ© les physiciens du CERN dans l'analyse de leurs rĂ©sultats. Elle modifiait la trajectoire des particules tournant dans cet immense accĂ©lĂ©rateur avec une pĂ©riodicitĂ© anormale. Il n'y a cependant, pour le moment, aucune preuve que ce mouvement imperceptible de la croĂ»te terrestre soit liĂ© aux dĂ©clenchements de tremblements de terre[4].

Une consĂ©quence de cette dĂ©formation est la dissipation de marĂ©e[5]. Cette dĂ©formation a priori dans la direction de l'axe Terre-Lune, pratiquement fixe (un tour en 28 jours) est entraĂźnĂ©e par la rotation de la Terre par des forces de friction et par la prĂ©sence des continents. Cela a deux consĂ©quences : la friction diminue la vitesse de rotation et la Lune s'Ă©loigne de la Terre. En effet, la rĂ©sultante des forces d'attraction de la Terre dĂ©formĂ©e par la Lune n'est plus sur l'axe Terre-Lune mais lĂ©gĂšrement entrainĂ©e par la rotation propre de la Terre. Il y a donc une force infime qui accĂ©lĂšre la Lune pour la libĂ©rer.

Marées extraterrestres

SystĂšmes planĂšte-satellite

Comme la Lune, les planÚtes et leurs satellites subissent des forces de marée, avec trois effets :

  • Ă©volution de la pĂ©riode de rotation du satellite, vers la pĂ©riode de rĂ©volution (ou vers une rĂ©sonance spin-orbite diffĂ©rente de 1:1, quand l'orbite est suffisamment excentrique) ;
  • Ă©volution de la pĂ©riode de rotation de la planĂšte, vers la pĂ©riode de rĂ©volution ;
  • Ă©volution de la distance planĂšte-satellite : accroissement si la pĂ©riode de rĂ©volution est supĂ©rieure Ă  la pĂ©riode de rotation de la planĂšte, diminution dans le cas contraire.

On remarquera que les deux premiÚres évolutions tendent vers un équilibre (synchronisation ou résonance), mais que la troisiÚme s'éloigne de l'équilibre : si le satellite est plus éloigné que la distance à laquelle la période de révolution serait égale à la période de rotation de la planÚte, il s'éloigne encore plus (orbite super-synchrone) ; s'il est plus proche il se rapproche encore (orbite sous-synchrone).

Exemples :

  • de nombreux satellites des planĂštes et des planĂštes mineures sont en rotation synchrone, dont la Lune, Phobos, DĂ©imos et Charon ;
  • la planĂšte naine Pluton est en rotation synchrone (Charon et Pluton se prĂ©sentent mutuellement toujours la mĂȘme face) ;
  • des deux satellites de Mars, l'un (DĂ©imos) s'Ă©loigne et sera sans doute perdu par Mars dans le futur, l'autre (Phobos) se rapproche et finira par s'Ă©craser sur Mars (aprĂšs s'ĂȘtre disloquĂ© lors du passage par la limite de Roche).

Les forces de marée sont à l'origine de courants dans les liquides et de déformations dans les solides, auxquels s'opposent des frottements (surtout dans les liquides) qui engendrent un échauffement. On attribue à cet échauffement le volcanisme et plus généralement l'intense activité géologique de Io, un satellite de Jupiter dont on pense qu'il comporte un océan magmatique au-dessous de sa croûte silicatée.

SystĂšmes satellite-satellite

Deux satellites d'une mĂȘme planĂšte peuvent exercer mutuellement des forces de marĂ©e. Les effets de ces forces mutuelles sont normalement plus faibles que ceux rĂ©sultant des forces dues Ă  la planĂšte, mais ils peuvent leur ĂȘtre supĂ©rieurs en prĂ©sence d'une rĂ©sonance entre les pĂ©riodes orbitales des deux satellites. C'est ce qui a Ă©tĂ© suggĂ©rĂ© pour Io, Europe et GanymĂšde (trois des quatre satellites galilĂ©ens de Jupiter), en rĂ©sonance 4:2:1 et sensibles aux marĂ©es en raison de la prĂ©sence d'un ocĂ©an d'eau sous la croĂ»te de glace[6] - [7].

SystĂšmes Soleil-planĂšte

Comme une planÚte et l'un de ses satellites, le Soleil et l'une de ses planÚtes ou planÚtes mineures exercent mutuellement des forces de marée.

Exemples :

  • sur Terre la marĂ©e d'origine solaire est nettement sensible, d'amplitude moitiĂ© moindre environ que celle d'origine lunaire ;
  • sous l'effet des forces de marĂ©e d'origine solaire, Mercure a acquis une pĂ©riode de rotation en rĂ©sonance 3:2 avec sa pĂ©riode de rĂ©volution.

SystĂšmes planĂšte-planĂšte

Comme pour les satellites d'une mĂȘme planĂšte, les planĂštes du SystĂšme solaire exercent en principe des forces mutuelles de marĂ©e, mais elles sont extrĂȘmement faibles. On a Ă©mis l'hypothĂšse que la quasi synchronisation dans un rapport 5:1 de la pĂ©riode synodique de VĂ©nus (par rapport Ă  la Terre, donc) et de son jour solaire Ă©tait due aux forces de marĂ©e, mais il est plus probable que ce soit une coĂŻncidence non permanente[8] - [9] - [10].

Trous noirs

Le cas le plus spectaculaire est celui d’un objet en orbite proche autour d’un trou noir stellaire (ou encore d’une Ă©toile Ă  neutrons). La masse proprement astronomique du trou noir et sa petite taille autorisent un corps (une Ă©toile ou une planĂšte) Ă  s’en approcher beaucoup et alors la diffĂ©rence de force gravitationnelle entre les deux faces de l’objet est gigantesque. Cet Ă©cart est tel que tout corps un tant soit peu volumineux est dĂ©chiquetĂ© par la force de marĂ©e. C’est ce qui explique le commentaire qui accompagne toujours les descriptions de ce qui arriverait Ă  un vaisseau spatial qui plongerait dans un trou noir stellaire : il serait dĂ©truit par les forces de marĂ©e avant mĂȘme d’en avoir atteint l’horizon.

Cependant, Ă  l’extĂ©rieur du trou noir, l’effet diminue au fur et Ă  mesure que sa masse augmente. Dans le cas d’un trou noir galactique, dont la masse se mesure en millions de masses solaires, le rayon de l’horizon est suffisamment grand pour que la force de marĂ©e Ă  ses environs soit sans danger pour un ĂȘtre humain qui se trouverait lĂ .

En effet, l’amplitude des effets de marĂ©es subi par un corps de taille a situĂ© Ă  une distance d d’une masse M s’écrit comme le produit du gradient du champ gravitationnel par la taille de l’objet, soit :

oĂč G est la constante de Newton. Pour un ĂȘtre humain (oĂč a vaut de l’ordre d’un mĂštre), la valeur maximale de gm supportable est de l’ordre de l’accĂ©lĂ©ration de la pesanteur terrestre g ; cela correspond Ă  une situation oĂč une personne suspendue par les mains serait lestĂ©e d’une masse de l’ordre de 100 kilogrammes, au-delĂ , elle serait Ă©cartelĂ©e. Cela correspond donc Ă  la contrainte :

oĂč MT et RT correspondent Ă  la masse et le rayon de la Terre.

Pour un trou noir, la taille R de l’horizon est donnĂ©e approximativement par la formule

.

Pour un observateur traversant l’horizon (d = R), la contrainte devient :

soit de l’ordre de la centaine de milliers de masses solaires. Pour un trou noir plus massif, comme un trou noir galactique, il est donc possible de passer l’horizon sans dommage.

Notes et références

  1. Si la masse n'est pas isotrope il y a des termes correctifs proportionnel à , négligeables dans la plupart des situations.
  2. Une maniÚre rapide, mais qui n'explique rien, de dériver cette expression est d'écrire le potentiel gravitationnel total et de le développer en puissance de . On retrouve la force en prenant le gradient par rapport à du terme d'ordre 2.
  3. avec une majuscule, il s'agit d'un nom propre et non pas du matériau.
  4. Laurent Métivier, « Les marées terrestres, la dynamique du manteau et la sismicité » [PDF], Géomatique Expert.
  5. Christian Buty, « Rotation de la terre sur elle-mĂȘme et distance terre-lune », ComitĂ© de liaison enseignants et astronomes.
  6. (en) R. Fritts, « Jupiter’s ocean moons raise tidal waves on one another », Eos, vol. 101,‎ (DOI 10.1029/2020EO148166).
  7. (en) Hamish C. F. C. Hay, Antony Trinh et Isamu Matsuyama, « Powering the Galilean Satellites with Moon‐Moon Tides », Geophysical Research Letters, vol. 47, no 15,‎ , article no e2020GL088317 (DOI 10.1029/2020GL088317).
  8. (en) Gold et Soter, « Atmospheric Tides and the Resonant Rotation of Venus », Icarus, vol. 11, no 3,‎ , p. 356-366 (DOI 10.1016/0019-1035(69)90068-2, Bibcode 1969Icar...11..356G).
  9. (en) Shapiro, Campbell et De Campli, « Nonresonance Rotation of Venus », The Astrophysical Journal, vol. 230,‎ , L123–L126 (DOI 10.1086/182975, Bibcode 1979ApJ...230L.123S).
  10. (en) Nicola Scafetta, « The complex planetary synchronization structure of the solar system », Duke University, Durham,‎ , p. 2 (lire en ligne).

Voir aussi

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