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Mesure signée

En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, une mesure signée est une extension de la notion de mesure dans le sens où les valeurs négatives sont autorisées, ce qui n'est pas le cas d'une mesure classique qui est, par définition, à valeurs positives.

Définition

Définition (mesure signée) — Soit un espace mesurable, c'est-à-dire un couple formé d'un ensemble muni d'une tribu . Une mesure signée sur est une fonction[1]

qui vérifie les deux propriétés suivantes

  •  ;
  • (sigma additivité) pour toute suite d'ensembles disjoints dans  :
.

Une mesure signée est dite finie si elle ne prend que des valeurs réelles, c'est-à-dire, si elle ne prend jamais les valeurs ou .

Pour clarifier, on utilisera le terme de « mesure positive », au lieu du simple « mesure », pour les mesures signées ne prenant jamais de valeurs strictement négatives.

Propriétés

Dans toute cette section est une mesure signée sur l'espace mesurable .

Si une mesure signée prend la valeur alors elle ne prend jamais la valeur et inversement. Plus précisément

Propriété — Il n'existe pas tels que et .

Si un ensemble mesurable A est de mesure finie, alors tous ces sous ensembles mesurables sont encore de mesure finie. En somme

Propriété — Si est tel que alors pour tout on a aussi .

Une mesure signée est finie si et seulement si elle est bornée. Autrement dit

Propriété (bornée identique à finie) —  est borné.

On a les relations suivantes

Propriété (relations élémentaires) — 1) Si sont tels que et alors .

2) Pour tout on a .

3) Pour tout on a .

Le résultat suivant s'apparente à une propriété de continuité d'une mesure signée[1]

Propriété (continuité des mesures signées) — 1) Si est une suite croissante (pour l'inclusion) d'ensembles mesurables alors

.

2) Si est une suite décroissante (pour l'inclusion) d'ensembles mesurables qui ne sont pas tous de mesure alors

.

Exemples

  • Si sont deux mesures positives sur l'espace mesurable et si l'une d'elle est finie, alors leur différence est une mesure signée sur .
  • Soit un espace mesuré (avec une mesure positive). Soit une fonction intégrable à valeurs réelles, alors la fonction
est une mesure signée finie sur .
De plus si on pose et où sont respectivement les parties positive et négative de , alors sont des mesures positives sur et .

Décomposition de Hahn

Définition (ensemble totalement négatif, nul et positif) — Soit une mesure signée sur un espace mesurable et . On dit que, pour , est

1) totalement négatif si pour tout ensemble mesurable on a  ;

2) totalement nul si pour tout ensemble mesurable on a  ;

3) totalement positif si pour tout ensemble mesurable on a .

Le théorème de décomposition de Hahn, du mathématicien autrichien Hans Hahn, énonce la chose suivante[1]

Théorème (décomposition de Hahn) — Soit une mesure signée sur un espace mesurable . Il existe deux ensembles mesurables tels que

1)  ;

2)  ;

3) est totalement positif pour  ;

4) est totalement négatif pour .

Une décomposition de Hahn de est définie comme étant la donnée d'un couple satisfaisant les quatre propriétés du théorème ci-dessus. Si sont deux décompositions de Hahn de , alors et sont totalement nuls pour (où désigne la différence symétrique).

Décomposition de Jordan

Le théorème de décomposition de Jordan, du mathématicien français Camille Jordan, est une conséquence du théorème de décomposition de Hahn. Il énonce la chose suivante[2]

Théorème (décomposition de Jordan) — Soit une mesure signée sur un espace mesurable . Il existe un unique couple de mesures positives sur satisfaisant les deux conditions suivantes

1)  ;

2) il existe tel que et .

La décomposition de Jordan d'une mesure signée peut facilement se construire à partir d'une décomposition de Hahn. De plus cette construction ne dépend pas de la décomposition de Hahn choisie, plus précisément[1]

Propriétés de la décomposition de Jordan — Soit une mesure signée sur un espace mesurable et sa décomposition de Jordan. Alors

1) Pour toute décomposition de Hahn et pour tout on a et (cela ne dépend donc pas de la décomposition de Hahn) ;

2) pour tout on a

et .

Lien avec les fonctions à variations bornées

Il existe une correspondance[3],[4] entre les mesures signées finies sur , où est la tribu borélienne sur , et les fonctions continues à droite, à variations bornées et tendant vers 0 en . Plus précisément, pour une mesure signée finie sur on note

.

Propriété — La fonction est une bijection de l'ensemble des mesures signées finies sur à l'ensemble des fonctions continues à droite, à variations bornées et tendant vers 0 en .

De plus, la variation totale de correspond à la variation totale de , à savoir, .

On peut aussi montrer que pour toute mesure signée finie , la fonction est localement absolument continue si et seulement si est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.

Références

  1. Samuel Nicolay, « Mesure », sur http://www.afaw.ulg.ac.be/, 2019/2020, p. 81
  2. François de marçay, « Théorie abstraite de l’intégration et théorème de Radon-Nikodym », sur https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~merker/, p. 18
  3. Samuel Nicolay, « Mesure », sur http://www.afaw.ulg.ac.be/, 2019/2020, p. 96
  4. (en) Donald L Cohn, Measure Theory, Birkhäuser Boston, , p. 133

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