Décomposition d'une matrice en éléments propres

Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que :

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».

Ces valeurs propres sont les solutions de l'équation :

${\displaystyle p\left(\lambda \right):=\det \left(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} \right)=0.\!\ }$

On appelle p(λ) le polynôme caractéristique de A, et cette équation, l'équation caractéristique, est une équation polynomiale de degré N dont λ est l'inconnue. Cette équation admet N_λ solutions distinctes, avec 1 ≤ N_λ ≤ N. L'ensemble des solutions, i. e. des valeurs propres, est appelé le spectre de A.

On peut factoriser p :

${\displaystyle p\left(\lambda \right)=(\lambda -\lambda _{1})^{n_{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{n_{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{k})^{n_{k}}=0\!\ }$

avec

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{N_{\lambda }}{n_{i}}=N.}$

Pour chaque valeur propre λ_i, on a une équation particulière :

${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} \right)\mathbf {v} =0,}$

qui admet m_i vecteurs solutions linéairement indépendants, formant une base de l'espace de toutes les solutions (le sous-espace propre associé à la valeur propre λ_i). Il est important de remarquer que cette multiplicité géométrique m_i peut être égale ou pas à la multiplicité algébrique n_i, mais qu'on a toujours : 1 ≤ m_i ≤ n_i. Le cas le plus simple est évidemment m_i = n_i = 1.

Le nombre de vecteurs propres indépendants de la matrice, noté ici N_v, est égal à la somme : ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{N_{\lambda }}{m_{i}}=N_{\mathbf {v} }.}$ Les vecteurs propres peuvent alors être indexés par leurs valeurs propres respectives, avec un double indice : on appellera alors v_i,j le j-ième vecteur propre associé à la i-ième valeur propre. Les vecteurs propres peuvent aussi être notés plus simplement, avec un seul indice : v_k, avec k = 1, 2, ... , N_v.

Soit A une matrice carrée (N lignes et N colonnes) admettant N vecteurs propres linéairement indépendants, ${\displaystyle q_{i}\,\,(i=1,\dots ,N).}$ Alors, A peut s'écrire sous la forme :

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}}$

Où la matrice de passage Q est une matrice carrée (à N lignes et N colonnes) dont la i-ième colonne est le vecteur propre ${\displaystyle q_{i}}$ de A et Λ est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres, i.e., ${\displaystyle \Lambda _{ii}=\lambda _{i}}$.

Les vecteurs propres ${\displaystyle q_{i}\,\,(i=1,\dots ,N)}$ sont souvent choisis unitaires, mais pas toujours.

La décomposition en éléments simples permet de calculer facilement les fonctions polynomiales de matrices. Si f(x) s'écrit

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots }$

alors, on sait que :

${\displaystyle f\left(\mathbf {A} \right)=\mathbf {Q} f\left(\mathbf {\Lambda } \right)\mathbf {Q} ^{-1}}$

et Λ étant diagonale, un polynôme en Λ est très facile à calculer :

${\displaystyle \left[f\left(\mathbf {\Lambda } \right)\right]_{ii}=f\left(\lambda _{i}\right).}$

Les coefficients non diagonaux de f(Λ) sont nuls ; f(Λ) est donc également diagonale. Le calcul de f(A) revient donc à calculer l'image par f de chaque valeur propre.

Exemples

• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}=(\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1})(\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1})=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } (\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {Q} )\mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{2}\mathbf {Q} ^{-1}}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{n}\mathbf {Q} ^{-1}}$

Une technique similaire s'applique plus généralement au calcul fonctionnel holomorphe, en utilisant la formule

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}}$

ci-dessus. On trouve encore

${\displaystyle \left[f\left(\mathbf {\Lambda } \right)\right]_{ii}=f\left(\lambda _{i}\right).}$

• Problème aux valeurs propres généralisé
• Théorème spectral