Cup-produit

On donne ici la définition pour la cohomologie singulière d'un espace topologique X, à coefficients dans un anneau commutatif.

Le cup-produit est une opération

${\displaystyle \smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)}$

correspondant à la composition : ${\displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X){\overset {K^{*}}{\longrightarrow }}C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\longrightarrow }}C^{\bullet }(X)}$ associée aux complexes de chaînes de X et X × X, avec K l'application de Künneth et la diagonale Δ : X → X × X.

Le cup-produit d'une p-cochaîne c et d'une q-cochaîne d, appliqué à un (p + q)-simplexe singulier σ, est donné par :

${\displaystyle (c\smile d)(\sigma )=c(\sigma \circ \iota _{0,1,\dots ,p})\cdot d(\sigma \circ \iota _{p,p+1,\dots ,p+q})}$

où ι_S désigne, pour toute partie S de {0, 1, … , p + q}, le plongement canonique du simplexe engendré par S dans le (p + q)-simplexe standard.

Pour voir que ce cup-produit de cochaînes définit un cup-produit des classes de cohomologie, il suffit de montrer que les applications de cobord vérifient : ${\displaystyle \delta (c\smile d)=\delta {c}\smile d+(-1)^{p}(c\smile \delta {d}),}$ ce qui montre que le cup-produit de deux cocycles est encore un cocycle, et que le produit d'un cocycle par un cobord est un cobord.

En cohomologie de De Rham, le cup-produit de formes différentielles est induit par le produit extérieur. En effet, la règle de Leibniz s'écrit ${\displaystyle \mathrm {d} (\omega \wedge \eta )=\mathrm {d} \omega \wedge \eta +(-1)^{p}\omega \wedge \mathrm {d} \eta }$ et l'on pose ${\displaystyle [\omega ]\smile [\eta ]=[\omega \wedge \eta ].}$

Le cup-produit vérifie l'identité suivante, qui fait de l'anneau de cohomologie un anneau gradué commutatif : ${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}$ C'est une opération bilinéaire : ${\displaystyle (u_{1}+u_{2})\smile v=u_{1}\smile v+u_{2}\smile v{\text{ et }}u\smile (v_{1}+v_{2})=u\smile v_{1}+u\smile v_{2}}$ et associative : ${\displaystyle \alpha \smile (\beta \smile \gamma )=(\alpha \smile \beta )\smile \gamma .}$

Il s'agit d'une opération naturellement fonctorielle, en ce que pour toute application continue f, ${\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}\alpha \smile f^{*}\beta .}$

Si X₁ et X₂ sont deux espaces topologiques, et ${\displaystyle p_{i}:X_{1}\times X_{2}\to X_{i}}$ les deux projections canoniques, on peut définir un cup-produit externe ${\displaystyle {\begin{aligned}\times ~:~&H^{k}(X_{1})\times H^{\ell }(X_{2})\to H^{k+\ell }(X_{1}\times X_{2})\\&a\times b\mapsto p_{1}^{*}(a)\smile p_{2}^{*}(b).\end{aligned}}}$

En théorie des nœuds, le nombre d'enlacement correspond à un cup-produit non nul dans le complément d'un nœud. D'une manière générale, les produits de Massey — opérations cohomologiques (en) d'arités supérieures — sont en lien avec les invariants de Milnor (en).

(en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, CUP, 2001, 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne)