Coupole (géométrie)

Le prisme triangulaire est aussi une coupole carrée	La coupole hexagonale avec des faces régulières (J3)
La coupole octogonale avec des faces régulières (J4)	La coupole décagonale avec des faces régulières (J5)

« Coupoles dodécagonales » planes dans un des 8 pavages semi-réguliers

Les trois polyèdres mentionnés ci-dessus sont les seules coupoles non-triviales avec des faces régulières : la « coupole dodécagonale » est une figure plane, et le prisme triangulaire peut être considéré comme une « coupole » de degré 2 (la coupole d'un segment et d'un carré). Néanmoins, les coupoles de polygones de degrés plus élevés peuvent être construites avec des faces triangulaires et rectangulaires irrégulières.

La définition d'une coupole ne requiert pas que la base soit un polygone régulier (ou le côté opposé à la base, qui peut être appelé le haut), mais il est pratique de considérer le cas où la coupole possède sa symétrie maximale, C_nv. Dans ce cas, le haut est un n-gone régulier, alors que la base est soit un 2n-gone régulier ou un 2n-gone qui possède deux longueurs de côtés différentes alternant et les mêmes angles qu'un 2n-gone régulier. Il est pratique de fixer le système de coordonnée tel que la base soit placée dans le plan xy, avec le haut dans un plan parallèle au plan xy. L'axe z est l'axe des n-feuillets, et les plans miroir passent à travers l'axe z et partagent les côtés de la base. Ils partagent aussi soit les côtés des angles du haut ou les deux. (Si n est pair, la moitié des plans miroirs partagent les côtés du polygone du haut et la moitié partage les angles, si n est impair, chaque plan miroir partage un côté et un angle du polygone du haut). Les sommets de la base peuvent être désignés par V₁ jusqu'à V_2n, tandis que les sommets du polygone du haut peuvent être désignés par V_2n+1 jusqu'à V_3n. Avec ces conventions, les coordonnées des sommets peuvent être écrites comme :

V_2j-1: (r_bcos [2π(j-1)/n + α], r_bsin [2π(j-1)/n + α], 0) (où j=1, 2, …, n);
V_2j: (r_bcos (2πj/n - α), r_bsin (2πj/n - α), 0) (où j=1, 2, …, n);

V_2n+j: (r_tcos (πj/n), r_tsin (πj/n), h) (où j=1, 2, …, n).

Puisque les polygones V₁V₂V_2n+1V_2n+2, etc. sont des rectangles, ceci place une contrainte sur les valeurs de r_b, r_t et α. La distance V₁V₂ est égale à

r_b{[cos (2π/n - α) – cos α]² + [sin (2π/n - α) - sin α] ²}^1/2
= r_b{[cos ² (2π/n - α) – 2cos (2π/n - α)cos α + cos² α] + [sin ² (2π/n - α) – 2 sin (2π/n - α)sin α + sin ²α]}^1/2
= r_b{2[1 – cos (2π/n - α)cos α – sin (2π/n - α)sin α]}^1/2
= r_b{2[1 – cos (2π/n - 2α)]}^1/2,

tandis que la distance V_2n+1V_2n+2 est égale à

r_t{[cos (π/n) – 1]² + sin²(π/n)}^1/2
= r_t{[cos² (π/n) – 2cos (π/n) + 1] + sin²(π/n)}^1/2
= r_t{2[1 – cos (π/n)]}^1/2.

Celles-ci sont égales, et si l'arête commune est notée par s,

r_b = s/{2[1 – cos (2π/n - 2α)]}^1/2
r_t= s/{2[1 – cos (π/n)]}^1/2

Ces valeurs sont à insérer dans les expressions pour les coordonnées des sommets donnés plus tôt.

Les coupoles peuvent être obtenues par une « expansion » des pyramides correspondantes (exemple : la pyramide carrée donne la coupole octogonale): les faces triangulaires des pyramides sont progressivement écartées par des rectangles jusqu'à ce que ceux-ci soient des carrés. La base n-gonale de la pyramide se transforme donc en une base 2n-gonale, et le sommet de la pyramide laisse place à un n-gone. Cette propriété implique que la hauteur d'une coupole 2n-gonale est la même que celle de la pyramide n-gonale.

Pour généraliser les coupoles en dimension 4, il faut donc partir d'une pyramide 4D et appliquer cette même expansion: on obtient toujours une base et un top reliés entre eux par des pyramides (qui remplacent les triangles) et des prismes (qui remplacent les carrés).

Comment savoir quelle base correspond à quel top? Il s'agit toujours d'une expansion de la base de la pyramide. Ainsi, en dimension 2, l'opération d'expansion correspondait en fait à une troncature (truncation en anglais): c'est pourquoi on reliait un n-gone à un 2n-gone; en dimension 3, l'expansion est appelée « chanfreinage » (cantellation en anglais); si on voulait élargir jusqu'en dimension 5, l'expansion prend le nom (en anglais) de « runcination » puis « sterication ».

Ainsi, l'exemple le plus simple d'une pyramide régulière 4D, le pentachore, a pour base un tétraèdre. Le chanfreinage d'un tétraèdre donne un cuboctaèdre. La coupole correspondante est donc la coupole tétraédrique, ayant pour base un cuboctaèdre et pour top un tétraèdre. De même que 2 coupoles hexagonales donnent un cuboctaèdre, 2 coupoles tétraédriques donnent un pentachore « runciné » (runcinated pentachoron en anglais).

Il existe en tout 4 hyperpyramides régulières, il existe donc 4 hypercoupoles régulières: la coupole tétraédrique, la coupole cubique, la coupole octaédrique et la coupole dodécaédrique.

Diagramme de Schlegel du pentachore « runciné » : on voit bien la coupole tétraédrique à l'intérieur du cuboctaèdre

Dans le tableau, les cellules sont données dans l'ordre suivant :

• le top
• les cellules joignant des faces de la base aux faces du top
• les cellules joignant des faces de la base aux arêtes du top
• les cellules joignant des faces de la base aux sommets du top
• la base.

Hypercoupoles
	Coupole tétraédrique		Coupole cubique		Coupole octaédrique		Coupole dodécaédrique
Type	Polychore convexe non-uniforme		Polychore convexe non-uniforme		Polychore convexe non-uniforme		Polychore convexe non-uniforme
Sommets	16		32		30		80
Arêtes	42		84		84		210
Faces	42	24 triangles 18 carrés	80	32 triangles 48 carrés	82	40 triangles 42 carrés	194	80 triangles 90 carrés 24 pentagones
Cellules	16	1 tétraèdre 4 prismes triangulaires 6 prismes triangulaires 4 tétraèdres 1 cuboctaèdre	28	1 cube 6 cubes 12 prismes triangulaires 8 tétraèdres 1 rhombicuboctaèdre	28	1 octaèdre 8 prismes triangulaires 12 prismes triangulaires 6 pyramides carrées 1 rhombicuboctaèdre	64	1 dodécaèdre 12 prismes pentagonaux 30 prismes triangulaires 20 tétraèdres 1 rhombicosidodécaèdre