Constantes d'Oort

On se place dans le plan galactique dans lequel le centre galactique est à la longitude l₀. Les coordonnées du Soleil dans ce plan sont donc :

${\displaystyle x_{\odot }=-R\cos l_{0}}$,

${\displaystyle y_{\odot }=-R\sin l_{0}}$.

On suppose le Soleil animé d'un mouvement circulaire de vitesse V, et on définit l'orientation des coordonnées galactiques par le fait que le Soleil se dirige vers la direction l = 90°dont les coordonnées sont donc

${\displaystyle V_{\odot }^{x}=-V\sin l_{0}}$,

${\displaystyle V_{\odot }^{y}=V\cos l_{0}}$.

Soit une étoile, dont le mouvement est également supposé circulaire, situé à une distance r du Soleil et à la longitude l. On suppose la distance de l'étoile r petite devant la distance au centre galactique R. Les coordonnées de l'étoile dans le plan galactique sont

${\displaystyle x_{*}=-R\cos l_{0}+r\cos l}$,

${\displaystyle y_{*}=-R\sin l_{0}+r\sin l}$.

La distance de cette étoile au centre galactique est approximativement

${\displaystyle D_{*}=R-r\cos(l-l_{0})}$.

La vitesse de cette étoile par rapport au centre galactique est, en valeur absolue,

${\displaystyle V_{*}=V(D_{*})\simeq V-r\cos(l-l_{0}){\frac {{\rm {d}}V}{{\rm {d}}R}}}$.

L'angle fait la direction étoile-centre galactique diffère de la direction Soleil-centre galactique par la valeur

${\displaystyle \delta =-{\frac {r}{R}}\sin(l-l_{0})}$,

de sorte que les coordonnées de la vitesse de l'étoile s'écrivent

${\displaystyle V_{*}^{x}=-V_{*}\sin(l_{0}-\delta )}$,

${\displaystyle V_{*}^{y}=V_{*}\cos(l_{0}-\delta )}$.

La vitesse relative de l'étoile par rapport au soleil est donc

${\displaystyle \delta V_{x}=-V_{*}\sin(l_{0}-\delta )+V\sin l_{0}}$,

${\displaystyle \delta V_{y}=V_{*}\cos(l_{0}-\delta )-V\cos l_{0}}$.

En développant ces expressions et en ne gardant que les termes de l'ordre le plus bas, il vient

${\displaystyle \delta V_{x}=-(V_{*}-V_{\odot })\sin l_{0}+V_{\odot }\delta \cos l_{0}}$,

${\displaystyle \delta V_{y}=(V_{*}-V_{\odot })\cos l_{0}+V_{\odot }\delta \sin l_{0}}$.

La composante de cette vitesse relativement à la direction de l'étoile donne la vitesse radiale de celle-ci. Elle vaut

${\displaystyle V_{r}=\delta V_{x}\cos l+\delta V_{y}\sin l}$.

Elle vaut

${\displaystyle V_{r}=(V_{*}-V_{\odot })\sin(l-l_{0})+V_{\odot }\delta \cos(l-l_{0})}$.

En remplaçant les termes ${\displaystyle V_{*}-V_{\odot }}$ et ${\displaystyle \delta }$ par leur valeur trouvée plus haut, il vient

${\displaystyle V_{r}=-r\cos(l-l_{0}){\frac {{\rm {d}}V}{{\rm {d}}R}}\sin(l-l_{0})+V_{\odot }{\frac {r}{R}}\sin(l-l_{0})\cos(l-l_{0})}$,

que l'on peut combiner en

${\displaystyle V_{r}=r{\frac {1}{2}}\left({\frac {V_{\odot }}{R}}-{\frac {{\rm {d}}V}{{\rm {d}}R}}\right)\sin(2(l-l_{0}))}$,

ou bien

${\displaystyle V_{r}=rA\sin(2(l-l_{0}))}$,

en utilisant la définition de A ci-dessus.

La composante perpendiculaire de vitesse se calcule selon

${\displaystyle V_{\perp }=-\delta V_{x}\sin l+\delta V_{y}\cos l}$,

ce qui donne

${\displaystyle V_{\perp }=(V_{*}-V_{\odot })\cos(l-l_{0})V_{\odot }\delta \sin(l-l_{0})}$.

En remplaçant à nouveau les deux quantités par leurs valeurs précédemment trouvées, il vient

${\displaystyle V_{\perp }=-r{\frac {{\rm {d}}V}{{\rm {d}}r}}\cos ^{2}(l-l_{0})-r{\frac {V_{\odot }}{R}}\sin ^{2}(l-l_{0})}$,

qui se combine en

${\displaystyle V_{\perp }=-r{\frac {1}{2}}{\frac {{\rm {d}}V}{{\rm {d}}r}}\left(\cos(2(l-l_{0})+1\right)+r{\frac {1}{2}}{\frac {V_{\odot }}{R}}\left(\cos(2(l-l_{0})-1\right)}$,

soit

${\displaystyle V_{\perp }=rA\cos(2(l-l_{0}))+rB}$.