Conjecture de Satō-Tate

Soit θ_p la solution de l'équation

${\displaystyle p+1-N_{p}=2{\sqrt {p}}\cos {\theta _{p}}~~(0\leq \theta _{p}\leq \pi )}$

et E une courbe elliptique n'admettant pas de multiplication complexe. Alors, pour deux réels quelconques α et β tels que 0 ≤ α < β ≤ π,

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\#\{p\leq N:\alpha \leq \theta _{p}\leq \beta \}}{\#\{p\leq N\}}}={\frac {2}{\pi }}\int _{\alpha }^{\beta }\sin ^{2}\theta \,d\theta }$

(dans le cas où E possède une multiplication complexe, la conjecture est remplacée par une autre loi, plus simple).

Il s'agit d'un résultat asymptotique : le théorème des restes chinois permet de montrer que l'on peut imposer arbitrairement les M premiers E_p, pour tout entier M fixé, en choisissant convenablement la courbe elliptique E.

Le théorème de Hasse permet de prouver que ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}(N_{p}-(p+1))/{\sqrt {p}}\,}$ peut être exprimé sous la forme ${\displaystyle \cos \theta }$ pour un angle ${\displaystyle \theta }$ ; en termes géométriques, il existe deux valeurs propres conjuguées contribuant au reste et avec le dénominateur donné ci-dessus, elles sont de module 1. La conjecture de Satō-Tate, lorsque E n'a pas de multiplication complexe, établit que la mesure de probabilité de ${\displaystyle \theta \,}$ est proportionnelle à

${\displaystyle \sin ^{2}\theta ~\mathrm {d} \theta .}$

En 2006, Richard Taylor, de l'université Harvard, a annoncé sur sa page web une démonstration, en collaboration avec Laurent Clozel, Michael Harris et Nicholas Shepherd-Barron (en), de la conjecture de Satō-Tate pour les courbes elliptiques sur les corps totalement réels satisfaisant une certaine condition : d'avoir une réduction multiplicative en un certain nombre premier. C’est-à-dire, pour un certain p où E a une mauvaise réduction (en) (et au moins pour les courbes elliptiques sur les nombres rationnels, il existe de tels p), le type dans la fibre singulière du modèle de Néron (en) est multiplicatif, plutôt qu'additif. En pratique, ceci est un cas typique, donc cette condition peut être considérée comme peu restrictive.

En 2009, la forme exacte donnée dans le premier paragraphe a été démontrée par Richard Taylor[1] avec la collaboration de Michael Harris, et de deux de ses étudiants T. Barnet-Lamb et D. Geraghty.

Il existe des généralisations, impliquant la distribution des éléments de Frobenius dans les groupes de Galois impliqués dans les représentations de Galois sur la cohomologie étale. En particulier, il existe une théorie conjecturale pour les courbes de genre > 1.

La forme de la distribution conjecturée est quelque chose qui peut être lue à partir de la géométrie des groupes de Lie d'un cas donné ; de sorte qu'en termes généraux, il existe un raisonnement pour cette distribution particulière. En fait, cette distribution se décrit de manière naturelle : c'est la mesure image, sur l'espace des classes de conjugaison, de la mesure de Haar du groupe de Lie compact considéré. On trouve le cas classique pour SU(2), avec la paramétrisation naturelle de ses classes de conjugaisons.

Il existe des énoncés plus raffinés. La conjecture de Lang-Trotter (1976) de Serge Lang et Hale Trotter prédit le nombre asymptotique de nombres premiers p avec une valeur donnée de ${\displaystyle a_{p}\,}$, la trace de Frobenius qui apparaît dans la formule. Pour le cas typique (pas de multiplication complexe, trace ≠ 0) leur formule établit que le nombre de p jusqu'à X est asymptotiquement

${\displaystyle C\times {\frac {\sqrt {X}}{\log X}}\,}$

avec une constante C précise. Neal Koblitz (1988) a fourni des conjectures détaillées pour le cas d'un nombre premier q de points sur E_p, motivé par la cryptographie sur les courbes elliptiques.

• (en) Diagrammes illustrant la conjecture de Satō-Tate, faits avec le logiciel d'algèbre SageMath.
• Henri Carayol, La Conjecture de Sato–Tate (d'après Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Taylor), Séminaire Bourbaki, exposé N° 977 (juin 2007)