Mesure image

On se donne deux espaces mesurables ${\displaystyle \textstyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ et ${\displaystyle \textstyle (X_{2},\Sigma _{2})}$, une application mesurable ${\displaystyle \textstyle f\colon X_{1}\rightarrow X_{2}}$ et une mesure ${\displaystyle \textstyle \mu \colon \Sigma _{1}\rightarrow [0,+\infty ]}$. La mesure image de μ par f est une mesure sur ${\displaystyle \textstyle \Sigma _{2}}$ notée ${\displaystyle \textstyle f_{\ast }\mu }$ et définie par :

${\displaystyle (f_{\ast }\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right){\text{ pour tout }}B\in \Sigma _{2}.}$

Cette définition s'applique également aux mesures complexes signées.

La formule de changement de variables est l'une des principales propriétés[1] : Une fonction g sur X₂ est intégrable par rapport à la mesure image f_*μ si et seulement si la fonction composée g∘ f est intégrable par rapport à la mesure μ. Dans ce cas les deux intégrales coïncident :

${\displaystyle \int _{X_{2}}g~\mathrm {d} (f_{\ast }\mu )=\int _{X_{1}}g\circ f~\mathrm {d} \mu .}$

• La mesure de Lebesgue naturelle sur le cercle unité S¹, vu ici comme sous ensemble du plan complexe ℂ, n'est pas définie comme la mesure image de la mesure de Lebesgue λ sur l'ensemble des réels ℝ, mais de sa restriction, que nous noterons également λ, à l'intervalle [0, 2π[. Soit f : [0, 2π[ → S¹ la bijection naturelle définie par f(t) = e^it. La mesure de Lebesgue sur S¹ est alors la mesure image f_*λ. Cette mesure f_*λ peut également être appelée mesure de longueur d'arc ou mesure d'angle, puisque la f_*λ-mesure de l'arc S¹ est précisément la longueur de l'arc.
• L'exemple précédent s'étend pour définir la mesure de Lebesgue sur le tore n-dimensionnel Tⁿ. La mesure de Lebesgue sur Tⁿ est, à renormalisation près, la mesure de Haar sur le groupe de Lie compact connexe Tⁿ.
• Une variable aléatoire est une application mesurable entre un espace probabilisé ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ et ℝ. La mesure de probabilité d'une variable aléatoire est la mesure image de ℙ par la variable aléatoire X :

${\displaystyle \mathbb {P} _{X}=X_{\ast }\mathbb {P} =\mathbb {P} (X^{-1}(\cdot )).}$

• Considérons la fonction mesurable f : X → X et la composition de f par elle-même n fois :

${\displaystyle f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n{\text{ fois}}}\colon X\to X.}$

Cette fonction itérative forme un système dynamique. Il est souvent utile de trouver une mesure μ sur X que l'application f laisse inchangée, ou mesure invariante (en), i.e. qui vérifie : f_*μ = μ.