Conjecture de Littlewood

On peut le comprendre ainsi : prendre un point ( α, β ) dans le plan, puis considérer la séquence de points

(2 α, 2 β ), (3 α, 3 β ), . . . .

Pour chacun d'entre eux, on multiplie la distance à la droite la plus proche avec la coordonnée entière x par la distance à la droite la plus proche avec la coordonnée entière y . Ce produit sera certainement au plus 1/4. La conjecture ne dit pas si cette suite de valeurs convergera ; ce n'est généralement pas le cas, en fait. La conjecture énonce quelque chose à propos de la limite inférieure, et dit qu'il existe une sous-séquence pour laquelle les distances décroissent plus vite que l'inverse, c'est-à-dire en o(1/n)

dans la notation petit-o .

En d'autres termes, la conjecture dit que pour tout α et β il y a une infinité de tels ${\displaystyle n}$, tel que l'égalité soit vraie.

On sait que cela découlerait d'un résultat en géométrie des nombres, autour du minimum sur un point de réseau non nul d'un produit de trois formes linéaires en trois variables réelles : l'implication a été montrée en 1955 par JWS Cassels et Swinnerton-Dyer[1]. Cela peut être formulé d'une autre manière, en termes de théorie des groupes. Il existe maintenant une autre conjecture, supposée valable pour n ≥ 3 : elle est exprimée en termes de G = SL_n(R), Γ = SL_n(Z) et le sous-groupe D des matrices diagonales dans G .

Ceci à son tour est un cas particulier d'une conjecture générale de Margulis sur les groupes de Lie.

Borel a montré en 1909 que l'ensemble exceptionnel des couples réels (α,β) ne respectant l'énoncé de la conjecture est de mesure de Lebesgue nulle[2]. Manfred Einsiedler, Anatole Katok et Elon Lindenstrauss ont montré [3] qu'elle doit avoir la dimension de Hausdorff nulle [4]; et est en fait une union dénombrable d'ensembles compacts de dimension de Minkowski-Bouligand nulle. Le résultat a été prouvé en utilisant un théorème de classification des mesures pour les actions diagonalisables des groupes de rang supérieur, et un théorème d'isolement prouvé par Lindenstrauss et Barak Weiss.

Ces résultats impliquent que des paires non triviales vérifiant la conjecture existent : en effet, étant donné un nombre réel α tel que ${\displaystyle \inf _{n\geq 1}n\cdot ||n\alpha ||>0}$, il est possible de construire un β explicite tel que (α,β) vérifie la conjecture[5].

• Polynôme de Littlewood

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Littlewood conjecture » (voir la liste des auteurs).

• Boris Adamczewski et Yann Bugeaud, Combinatorics, automata, and number theory, vol. 135, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications », 2010, 410–451 p. (ISBN 978-0-521-51597-9, zbMATH 1271.11073), « 8. Transcendence and diophantine approximation »

• Akshay Venkatesh, « The work of Einsiedler, Katok, and Lindenstrauss on the Littlewood conjecture », Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), vol. 45, n^o 1,‎ 29 octobre 2007, p. 117–134 (DOI 10.1090/S0273-0979-07-01194-9, MR 2358379, zbMATH 1194.11075)