Classe de Selberg

La définition formelle de la classe S est l’ensemble de toutes les séries de Dirichlet

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

absolument convergentes pour Re ( s ) > 1 qui satisfont quatre axiomes (ou hypothèses telles que les nomme Selberg):

1. analyticité: ${\displaystyle F(s)}$ se prolonge en une fonction méromorphe dans tout le plan complexe, avec un unique pôle (s'il existe) quand s vaut 1;
2. conjecture de Ramanujan: ${\displaystyle a_{1}=1}$ et ${\displaystyle a_{n}\ll _{\epsilon }n^{\epsilon }}$ pour tout ${\displaystyle \epsilon >0}$;
3. équation fonctionnelle: il existe un facteur ${\displaystyle \gamma }$ de la forme

${\displaystyle \gamma (s)=Q^{s}\prod _{i=1}^{k}\Gamma (\omega _{i}s+\mu _{i})}$

où Q est réel et positif, ${\displaystyle \Gamma }$ est la fonction gamma, les ${\displaystyle \omega _{i}}$ sont réels et positifs et les ${\displaystyle \mu _{i}}$ sont des nombres complexes de partie réelle positive, et il existe également une racine de l'unité

${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ,|\alpha |=1}$

tel que la fonction

${\displaystyle \Phi (s)=\gamma (s)F(s)}$

satisfasse

${\displaystyle \Phi (s)=\alpha {\overline {\Phi (1-{\overline {s}}))}};}$

1. produit eulérien: pour Re(s) > 1, F(s) peut s'écrire comme le produit portant sur tous les nombres premiers:

${\displaystyle F(s)=\prod _{p}F_{p}(s)}$

avec ${\displaystyle F_{p}(s)=\exp \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{p^{n}}}{p^{ns}}}}$

et pour ${\displaystyle \theta <{\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle b_{p^{n}}=O(p^{n\theta }).}$

Comme avec la fonction zêta de Riemann, un élément F de S a des zéros triviaux issus des pôles du facteur gamma γ ( s ). Les autres zéros sont appelés zéros non triviaux de F. Ceux-ci seront tous situés dans une bande 1 − A ≤ Re(s) ≤ A. En indiquant le nombre de zéros non triviaux de F avec 0 ≤ Im(s) ≤ T par N _F ( T )[6], Selberg a montré que

${\displaystyle N_{F}(T)d_{F}{\frac {T\log(T+C)}{2\pi }}+O(\log T)}$

Ici, d _F est appelé le degré (ou dimension) de F. Il est donné par [7]

${\displaystyle d_{F}=2\sum _{i=1}^{k}\omega _{i}}$

On peut montrer que F = 1 est la seule fonction en S dont le degré est inférieur à 1.

Si F et G appartiennent à la classe de Selberg, leurs produits aussi et

${\displaystyle d_{FG}=d_{F}+d_{G}.}$

Une fonction F ≠ 1 en S est appelée primitive si chaque fois qu'elle est écrite en tant que F = F ₁ F ₂ , avec F _i dans S , puis F = F ₁ ou F = F ₂ . Si d _F = 1, alors F est une primitive. Toute fonction F ≠ 1 de S peut être écrite comme un produit de fonctions primitives. Les conjectures de Selberg, décrites ci-dessous, impliquent que la factorisation en fonctions primitives est unique.

Des exemples de fonctions primitives incluent la fonction zêta de Riemann et les fonctions L de Dirichlet des caractères de Dirichlet primitifs. En supposant les conjectures 1 et 2 ci-dessous, les fonctions L de représentations automorphes cuspidiennes irréductibles qui satisfont la conjecture de Ramanujan sont primitives[8].

Dans (Selberg 1992), Selberg a formulé des conjectures concernant les fonctions de S :

• Conjecture 1: pour tout F dans S , il existe un entier n _F tel que

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {|a_{p}|^{2}}{p}}=n_{F}\log \log x+O(1)}$

et où ${\displaystyle n_{F}=1}$ quand F est primitive.

• Conjecture 2: Pour des primitives distinctes F , F ′ ∈ S ,

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {a_{p}a_{p'}}{p}}=O(1)}$

• Conjecture 3: Si F appartient à S avec une factorisation primitive

${\displaystyle F=\prod _{i=1}^{m}F_{i},}$

si χ est un caractère de Dirichlet primitif, et si la fonction

${\displaystyle F^{\chi }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)a_{n}}{n^{s}}}}$

est également dans S, alors les fonctions F _i ^χ sont des éléments primitifs de S (et, par conséquent, ils forment la factorisation primitive de F ^χ).

• Hypothèse de Riemann pour S: pour tout F dans S, les zéros non triviaux de F se trouvent tous sur la droite Re (s) = 1/2.

• Liste de fonctions zêta