Chimiométrie

Les matrices seront représentées par des majuscules grasses, comme X. Les vecteurs, par des minuscules grasses, comme x_j qui représente la j ^ième colonne de X, et les scalaires, par des minuscules italiques, comme n indiquant le nombre d'individus ou p indiquant le nombre de variables. Les données contenant les signaux décrits par p variables mesurées sur n individus seront rangées dans une matrice X de n lignes par p colonnes[10].

Un grand nombre de méthodes chimiométriques ont pour but de réaliser un étalonnage (en anglais : calibration), entre un signal x (par exemple un spectre) et des grandeurs à prédire y (par exemple une concentration et une densité), au moyen d'un apprentissage. En apprentissage, on cherche à construire un modèle mathématique à partir d'un ensemble d'échantillons sur lesquels on aura mesuré x et y, regroupés dans deux matrices, X et Y. Pour ce faire, les données sont classiquement séparées en trois groupes : le jeu d'apprentissage (Xc, Yc), le jeu de validation (Xv, Yv) et le jeu de test (Xt, Yt)[11].

Il y a deux phases dans la construction d'un modèle :

1. Une phase d'optimisation des (hyper-)paramètres du modèle (le prétraitement du signal, le nombre de plus proches voisins pour le kNN, le nombre de variables latentes dans une PLS, etc.). Un modèle est calculé sur Xc, Yc avec des valeurs de paramètres données et le modèle est ensuite testé sur Xv, Yv. Le résultat de ces tests permet de régler les paramètres du modèle ;
2. Une phase d'évaluation du modèle. Un modèle utilisant les paramètres déterminés à la phase d'optimisation est calculé sur (Xc+Xv, Yc+Yv) et testé sur Xt, Yt.

La phase 1 emprunte généralement une validation croisée, dans laquelle l'ensemble d'étalonnage et l'ensemble de validation sont tirés de manière répétée. Plusieurs types de validation croisée existent : random blocs, jack-knife, venitian blind, leave-one-out, répétée... Le leave-one-out n'est pas recommandé car il favorise le sur-apprentissage. La validation croisée répétée est préférable.

Résumé des bonnes pratiques lors de la construction d'un étalonnage en chimiométrie.

Pendant la construction du modèle, on doit attacher une grande importance à ne pas biaiser artificiellement ses critères de performances. Par exemple, tous les réplicats de mesures d'un même échantillon ne doivent jamais être séparés entre le jeu d'étalonnage et le jeu de validation, et le jeu test doit être le plus indépendant possible et représentatif de l'utilisation future du modèle.

Le schéma représente le logigramme typique de la construction d'un modèle d'étalonnage en chimiométrie.

Les critères employés pour l'évaluation de la performance : RMSEP, le R2 (et/ou le RPD qui est relié au R2).

Les critères employés pour l'évaluation de la qualité : coefficient de Durbin-Watson, le T2 d'Hoteling, le coefficient Q.

Avant d'être traitées par les méthodes d'exploration ou d'étalonnage, les données ont parfois besoin d'être prétraitées, afin d'éliminer des signaux de fond indésirables, comme les effets des réflexions spéculaires en spectroscopie. De nombreuses méthodes de prétraitement ont été imaginées et développées, tant pour gommer des altérations génériques, comme les effets multiplicatifs ou additifs[12], que pour résoudre des problèmes spécifiques à chaque technique analytique, comme la fluorescence en spectrométrie Raman[13].

Les prétraitements se classent en deux grandes catégories : les prétraitements basés sur des statistiques calculées sur les individus de la base de données (c’est-à-dire sur les colonnes de la matrice) et les prétraitements basés sur le traitement du signal de chaque individu (c’est-à-dire sur les lignes de la matrice).

La chimiométrie repose essentiellement sur des calculs statistiques tels que la moyenne, la variance et la covariance. Ces quantités caractérisent l'ensemble des individus sur lesquels le modèle sera construit. Par exemple, une PLS cherche à maximiser la covariance. Toutefois, les unités utilisées pour mesurer les variables peuvent avoir des échelles non comparables. De même, la distribution de certaines variables peut être très asymétrique, ce qui entraîne des biais dans les estimations des moments statistiques. Un certain nombre de prétraitements sont consacrés à la correction de ces distorsions. Les prétraitements basés sur les statistiques des colonnes sont calculés dans l'espace des individus et sont ensuite appliqués sur chaque individu testé par le modèle. Par conséquent ils ne doivent pas être effectués avant le fractionnement de l'ensemble étalonnage / test. Une attention particulière doit également être portée lors de la validation croisée. En effet, le prétraitement doit être "intégré" dans la boucle de validation croisée afin de le calculer et de l'appliquer à chaque itération de la validation croisée.

Les méthodes les plus courantes pour corriger la distribution des variables consistent à soustraire et/ou diviser chaque colonne par une statistique calculée sur cette colonne.

Le centrage par colonne a pour but de définir l'origine par laquelle passe le modèle. Une description détaillée des différents modes de centrage se trouve dans Bro et Smilde[14].  Dans le plus courant, la moyenne de chaque colonne de données est soustraite de toutes les valeurs de cette colonne pour donner une matrice de données où la moyenne de chaque variable prétraitée est nulle. Lorsque le modèle, calculé sur ces données prétraitées, est appliqué à un nouvel individu, il faut appliquer à cet individu le même centrage que celui utilisé par le prétraitement, c'est-à-dire soustraire à cet individu la moyenne du jeu d'étalonnage.

La normalisation des colonnes a pour but d'équilibrer les poids statistiques de toutes les colonnes. Cela revient à rendre les colonnes a-dimensionnelles. Il existe différentes méthodes pour cela. La plus courante consiste à donner la même variance à toutes les colonnes, en les divisant par leur écart-type, après les avoir centrées. Cela signifie que la seule information qui reste est liée aux corrélations entre les variables. Cette opération est appelée également « réduction » ou « autoscaling ». D'autres statistiques que l'écart-type peuvent être utilisées, comme la racine carrée de l'écart-type, dans le Pareto Scaling.

Très rarement utilisé en spectrométrie proche infrarouge, l'autoscaling est très utile lorsque les signaux porteurs d'information sont faibles et non corrélés à d'autres signaux plus forts. Ces cas peuvent se produire par exemple avec des signaux de spectrométrie de masse.

Les méthodes de traitement du signal sont largement utilisées pour des applications spectroscopiques, afin de corriger les données spectrales des effets de taille et de se concentrer sur la forme du signal. Contrairement aux méthodes basées sur les statistiques des colonnes, les prétraitements basés sur le signal s'appliquent à chaque individu, indépendamment des autres. Ils peuvent donc en général être effectués avant le fractionnement des ensembles d'étalonnage et de test et ne nécessitent aucune précaution en ce qui concerne la validation croisée.

Les spectres peuvent contenir des signaux d'arrière-plan structurés qui sont généralement appelés lignes de base. Les lignes de base sont censées être des signaux continus et à basse fréquence qui s’ajoutent au signal mesuré. Il existe différents modèles de ligne de base : constante, linéaire, polynomiale, etc., qui ont donné lieu à différentes méthodes de correction. De plus, certains filtres de traitement du signal ont été adaptés au prétraitement des spectres chimiométriques. Il y a donc de nombreuses méthodes, le choix de la meilleure dépend fortement de l'application[15].

Les méthodes de correction de ligne de base les plus courantes sont :

• la soustraction d'une valeur à tout le spectre. Par exemple en soustrayant le minimum, le spectre prétraité aura un minimum égal à 0. Cette méthode n'est pas conseillée, car elle utilise la valeur d'un seul point et a donc tendance à augmenter le bruit du spectre. De plus, cette méthode ne corrige que des lignes de base horizontales ;
• la soustraction de la moyenne du spectre à tout le spectre. De la sorte, le spectre résultant a une moyenne nulle. Cette méthode est préférable à la précédente parce qu'elle propage moins de bruit, utilisant une valeur calculée à partir de tous les points. Par contre elle ne corrige que des lignes de base horizontales et produit des spectres avec des valeurs négatives, ce qui peut être gênant pour l'application de certaines méthodes ;
• la soustraction d'une ligne calculée sur une partie du spectre. Si, par expertise, on sait qu'une zone du spectre devrait être nulle, ou qu'en deux points distants, le signal devrait être nul, alors il suffit de calculer l'équation de la droite passant par cette zone ou par les deux points et de la soustraire du spectre ;
• le detrending permet d'enlever la tendance globale sous-jacente au spectre. Une régression est calculée entre les abscisses et le spectre, avec un modèle de type constant (degré 0), linéaire (degré 1), ou polynomial (degré ≥ 2). La courbe de tendance trouvée est enlevée du spectre. On remarque que le detrend de degré 0 est la soustraction de la moyenne. On remarque également qu'un detrend de degré k est une projection orthogonale à l'espace des polynômes de degré k[16]. Detrend permet d'enlever des lignes de bases plus complexes qu'une simple droite, mais produit des valeurs négatives, ce qui peut être gênant pour l'application de certaines méthodes ;
• la méthode ALS, pour Asymmetric Least Squares, identifie la ligne de base d'un spectre avec une régression des moindres carrés pénalisés. L'idée est de trouver le signal qui s'approche le mieux du spectre, au sens des moindres carrés, tout en ayant un aspect lisse, au sens d'un critère de fréquence. Cette méthode est particulièrement utile en spectrométrie Raman pour enlever les lignes de bases dues à la fluorescence.

Un signal mesuré x peut être affecté par un effet multiplicatif, ce qui signifie que ax peut être mesuré au lieu de x, avec a ≠ 1. Dans le domaine de la chromatographie, l'effet multiplicatif peut être dû à la quantité de produit analysé. Dans le domaine de la RMN, la dilution du produit analysé est responsable de l'effet multiplicatif. Dans le domaine du PIR, l'effet multiplicatif peut être dû à la géométrie de l'appareil de mesure ou à la taille des particules du produit. L'effet multiplicatif est incompatible avec les outils de l'algèbre linéaire. En effet, tout traitement de x par l'algèbre linéaire aboutit à une ou plusieurs opérations matricielles comme, par exemple, t = x^TP, où P est une matrice de loadings. Si x est multiplié par a, le résultat t sera également multiplié par a. En d'autres termes, les effets multiplicatifs passent à travers les modèles linéaires.

L'effet multiplicatif peut être traité en appliquant un logarithme au signal mesuré. Il faut pour cela qu'aucun autre effet tel qu'une ligne de base ne soit inclus dans le signal à traiter.

L'utilisation de la normalisation est plus courante. La normalisation consiste à diviser toutes les variables du signal x par une fonction d de x, de telle sorte que d(ax) = ad(x). Ainsi, chaque ax conduira au même signal corrigé z = ax/d(ax) = x/d(x), quelle que soit la valeur de a. Bien que des méthodes de normalisation spectrale soient appliquées à chaque spectre individuel, certaines d'entre elles nécessitent l'ensemble des données pour calculer les facteurs de correction ; dans ce cas, le prétraitement ne doit pas être effectué avant la définition des ensembles d'étalonnage et de test et une attention doit également être portée en effectuant une validation croisée. Il existe différentes méthodes de normalisation :

• la normalisation par le maximum consiste à diviser toutes les valeurs du spectre par son maximum. L'implémentation de cette normalisation est très simple. Mais elle est déconseillée car, en n'utilisant qu'une seule valeur pour estimer l'effet multiplicatif, elle propage du bruit sur le spectre ;
• la normalisation par la gamme consiste à diviser toutes les valeurs du spectre par la différence de signal entre deux points spécifiques du spectre, ou par la différence entre le maximum et le minimum. Cette méthode présente l’avantage de ne pas baser l’évaluation de l’effet multiplicatif sur une seule valeur ;
• la normalisation par la norme du spectre consiste à diviser toutes les valeurs du spectre par la moyenne quadratique de toutes les valeurs du spectre. Cette méthode présente l’avantage de baser l’évaluation de l’effet multiplicatif sur une statistique très stable et donc de ne pas augmenter le bruit.
• Lorsque l’effet multiplicatif est estimé en utilisant toutes les variables du signal, l’information portée par les pics (reliés à la chimie) se dilue sur l’ensemble du spectre[17]. Probalistic Quotient Normalization (PQN) a été développée pour répondre à ce problème. Elle consiste à :
  • calculer le coefficient multiplicatif a entre chaque valeur du spectre à traiter et la valeur correspondante d'un spectre de référence,
  • retenir la valeur la plus fréquente du coefficient multiplicateur.

Les méthodes combinant la réduction de ligne de base et la mise à l'échelle des spectres sont très utilisées. Ainsi :

• Standard Normal Variate (SNV)[18] enlève au spectre son intensité moyenne et le divise ensuite par son écart type. Cette méthode est également appelée, à juste titre, « centrage réduction en ligne » ;
• Multiplicative Scatter Correction (MSC)[12] identifie l'effet additif et l'effet multiplicatif de chaque spectre, en comparaison à un spectre de référence, puis le corrige explicitement :
  • calcul de ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ tels que ${\displaystyle \mathbf {x} =a\mathbf {x} _{ref}+b}$,
  • correction de ${\displaystyle \mathbf {x} }$ : ${\displaystyle \mathbf {x} _{corr}={\frac {1}{a}}(\mathbf {x} -b)}$ ;
• Extended Multiplicative Signal Correction (EMSC)[19] procède comme MSC, mais avec des modèles de lignes de base plus complexe qu'une simple constante.

De la même manière que pour les méthodes de scaling, les méthodes SNV et MSC ont tendance à diluer les zones porteuses d'information, comme les pics chimiques, sur l'ensemble des spectres. Ce problème est connu sous le nom de « fermeture » (en anglais : closure)[20]. Pour pallier ce problème, différentes méthodes alternatives ont été proposées[21] - [22]. Elles reposent toutes sur l'idée d'estimer les effets additifs et multiplicatifs sur les parties des spectres affectées seulement par ces effets.

Les méthodes non-supervisées ont pour but d'explorer un jeu de données, en mettant en avant les sources principales de variabilité, et en définissant les groupes formés par les échantillons.

Spécificité de l'ACP dans le cadre de la SPIR est de représenter les loadings de chaque composantes principales sous forme de spectre.

CANDECOMP/PARAFAC (en)

ACP et PLS.

PLS locale (LWPLS, local PLS), ANN, CNN, SVM.

PLS-DA.

kNN, CAH, RF, SVM.

SIMPLEX.

ICA.

SIMPLEX.

CovSel, VIP, UVE.

Utilisation du T2 et Q.

• Différentes caractéristiques sont prédites sur les céréales et graines : la teneur en protéines, composition en acides aminés ou acides gras[23].
• Différentes caractéristiques sont également prédites sur les sols[24] : matière organique, texture, minéraux, CEC, matière sèche, pH, contaminations[25].
• Le FlashBMP[26] - [27] a été développé pour prédire le potentiel biochimique de méthane (BMP) sur divers déchets organiques destinés à la méthanisation (boues urbaines, déchets agroalimentaires, déchets cantine). L'application nécessite aujourd'hui une étape de lyophilisation et broyage de la matière.