Caustique

Soit M un point quelconque de ${\displaystyle ({\mathcal {C}})}$, s une abscisse curviligne de la courbe, ${\displaystyle T={\frac {dM}{ds}}}$ le vecteur unitaire tangent en M à ${\displaystyle ({\mathcal {C}})}$, N le vecteur unitaire directement orthogonal à T, W le symétrique de S par rapport à la tangente en M, ${\displaystyle ({\mathcal {O}})}$ la courbe décrite par W. La développée de ${\displaystyle ({\mathcal {O}})}$ étant l'enveloppe des droites normales à ${\displaystyle ({\mathcal {O}})}$ et la caustique étant l'enveloppe des rayons réfléchis, pour montrer que les deux courbes coïncident, il suffit de montrer que la normale à ${\displaystyle ({\mathcal {O}})}$ en W coïncide avec le rayon réfléchi en M, ou encore que le rayon réfléchi est orthogonal à la tangente en W à ${\displaystyle ({\mathcal {O}})}$. Or, ${\displaystyle (\quad |\quad )}$ désignant le produit scalaire :

• Le rayon réfléchi est dirigé par le vecteur ${\displaystyle \mathbf {MW} =(\mathbf {MS} |T)T-(\mathbf {MS} |N)N}$
• Un vecteur tangent à ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ en W est ${\displaystyle {\frac {dW}{ds}}}$. Pour calculer ce vecteur, dérivons la relation précédente par rapport à S. On rappelle que, si K est la courbure de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ en M, on a ${\displaystyle {\frac {dT}{ds}}=KN}$ et ${\displaystyle {\frac {dN}{ds}}=-KT}$. Par ailleurs, ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {MS} }{ds}}=-{\frac {dM}{ds}}=-T}$. On obtient :

${\displaystyle {\frac {dW}{ds}}={\frac {dM}{ds}}+{\frac {d\mathbf {MW} }{ds}}=T+(-T|T)T+(\mathbf {MS} |KN)T+(\mathbf {MS} |T)KN+(T|N)N+(\mathbf {MS} |KT)N+(\mathbf {MS} |N)KT}$

${\displaystyle =2K(\mathbf {MS} |N)T+2K(\mathbf {MS} |T)N}$

et les deux vecteurs ${\displaystyle \mathbf {MW} }$ et ${\displaystyle {\frac {dW}{ds}}}$ sont bien orthogonaux.