Assombrissement centre-bord

On utilise un repère ayant pour origine la surface et dirigé vers l'intérieur de l'étoile. Le flux d'énergie est donc négatif. Compte tenu du fait que l'épaisseur de la région intéressante est petite devant le rayon on assimile le milieu à un milieu plan.

L'équation de Boltzmann en régime stationnaire et une dimension d'espace s'écrit pour la luminance L intégrée sur tout le spectre

${\displaystyle \mu {\frac {\mathrm {d} L(x,\mu )}{\mathrm {d} x}}=\kappa \left[S(x)-L(x,\mu )\right]\,,\qquad \mu =\cos \theta \,,\qquad S(x)={\frac {\sigma T(x)^{4}}{\pi }}}$

où σ est la constante de Stefan-Boltzmann.

En introduisant la profondeur optique τ = κ x

${\displaystyle \mu {\frac {\mathrm {d} L(\tau ,\mu )}{\mathrm {d} \tau }}=S(\tau )-L(\tau ,\mu )}$

On introduit l'énergie volumique E, le flux F et la pression radiative P, moments d'ordre 0, 1 et 2 de la luminance

${\displaystyle E(\tau )={\frac {2\pi }{c}}\int _{-1}^{1}L(\tau ,\mu )\mathrm {d} \mu \,,\quad F(\tau )=2\pi \int _{-1}^{1}L(\tau ,\mu )\mu \mathrm {d} \mu \,,\quad P(\tau )={\frac {2\pi }{c}}\int _{-1}^{1}L(\tau ,\mu )\mu ^{2}\mathrm {d} \mu }$

c est la vitesse de la lumière.

En multipliant l'équation de Boltzmann par 2 π μ et en intégrant sur μ on obtient

${\displaystyle c\,{\frac {\mathrm {d} P(\tau )}{\mathrm {d} \tau }}=-F(\tau )>0}$

Le transfert radiatif étant supposé le seul mode de transfert d'énergie et le milieu étant stationnaire le flux est constant F = F₀ et la pression s'écrit

${\displaystyle P(\tau )=-{\frac {F_{0}}{c}}\tau +P(0)}$

On utilise l'« approximation à deux flux » consistant à séparer les intensités dans les deux sens de propagation opposés, méthode rendue possible par la linéarité de l'équation de Boltzmann. On note L+ la luminance constituée par une valeur angulaire constante dans le demi-espace x positif et valant 0 dans le demi-espace négatif. L- est son complémentaire. Les moments valent

${\displaystyle E={\frac {2\pi }{c}}(L^{+}+L^{-})\,,\qquad F=\pi (L^{+}-L^{-})\,,\qquad P={\frac {2\pi }{3c}}(L^{+}+L^{-})={\frac {E}{3}}}$

En reportant dans l'équation de la pression en imposant  ${\displaystyle L^{+}(0)=0}$  (pas d'énergie en provenance du milieu extérieur)

${\displaystyle E(\tau )=-{\frac {F_{0}}{c}}\left(\tau +{\frac {2}{3}}\right)}$

Le milieu est en quasi-équilibre donc

${\displaystyle E(\tau )\approx {\frac {4\sigma T(\tau )^{4}}{c}}={\frac {4\pi }{c}}S(\tau )}$

Cette expression permet de connaître le profil de température T ( τ ) : T⁴ varie linéairement avec τ.

On peut donner[3] une solution formelle de l'équation sous forme d'une transformée de Laplace

${\displaystyle L(0,\mu )=-\int _{0}^{\infty }S(t)e^{\frac {t}{\mu }}{\frac {\mathrm {d} t}{\mu }}\,,\qquad \mu <0}$

soit

${\displaystyle L(0,\mu )={\frac {F_{0}}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(t+{\frac {2}{3}}\right)e^{\frac {t}{\mu }}{\frac {\mathrm {d} t}{\mu }}=-{\frac {F_{0}}{4\pi }}\left(\mu +{\frac {2}{3}}\right)=S(\tau =\mu )}$

La luminance sortante est celle du terme source à la profondeur τ = μ. De là la répartition angulaire

${\displaystyle R(\mu )={\frac {L(0,\mu )}{L(0,1)}}={\frac {3}{5}}\left(\mu +{\frac {2}{3}}\right)}$