Accueil🇫🇷Chercher

Anneau semi-primitif

En algèbre — une branche des mathématiques —, un anneau est dit semi-primitif (ou Jacobson-semi-simple, ou J-semi-simple) si son radical de Jacobson est l'idéal nul.

C'est un type d'anneau plus général que celui d'anneau semi-simple, mais dont les modules simples fournissent suffisamment d'informations sur l'anneau.

Propriétés

  • Un anneau R est semi-primitif si et seulement si pour tout xR* (l'ensemble R privé de 0), il existe yR tel que yx + 1 ∉ R× (le groupe des inversibles de R) ou encore si pour tout idéal non nul I de R, 1 + IR×[1].
  • Un anneau est semi-primitif si et seulement s'il a un module à gauche semi-simple fidèle ou, ce qui est équivalent, s'il a un module à droite semi-simple fidèle.
  • Un anneau est semi-primitif si et seulement s'il est produit sous-direct (en) d'anneaux primitifs (en). Ces derniers sont décrits par le théorème de densité de Jacobson (en).
  • En particulier :
  • Un anneau est semi-simple si et seulement s'il est semi-primitif et artinien à gauche[4]. De tels anneaux sont parfois dits « artiniens semi-simples »[5].

Exemples

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Semiprimitive ring » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Pete L. Clark, « The Euclidean criterion for irreducibles », Amer. Math. Monthly, vol. 124, no 3, , p. 198-216 (arXiv 1605.01298), § 2.2 et corollaire 4.3.
  2. (en) Tsit-Yuen Lam, Exercises in Classical Ring Theory, Springer-Verlag, (ISBN 978-0-387-94317-6, MR 1323431), p. 137.
  3. C'est à cette classe plus restreinte que Nathan Jacobson a donné le nom d'anneaux semi-simples : (en) N. Jacobson, Basic Algebra II, Freeman, , 2e éd. (lire en ligne), p. 203.
  4. (en) Tsit-Yuen Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer, (lire en ligne), p. 54.
  5. (en) Andrei V. Kelarev, Ring Constructions and Applications, World Scientific, (ISBN 978-981-02-4745-4), p. 13.
  6. Clark 2017, proposition 2.2.
  7. Clark 2017, exemple 2.1.
  8. Lam 2001, p. 56.
  9. Lam 2001, p. 68.
  10. Clark 2017, exemple 4.7.
  11. Lam 2001, ex. 4.13 p. 65.
  12. Clark 2017, exemple 4.19.
  13. Lam 2001, ex. 4.12B p. 65.
  14. Lam 1995, p. 42.
Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.