Algèbre vertex

Une algèbre vertex est un espace vectoriel ${\displaystyle V}$ , muni d'un élément unité ${\displaystyle 1}$ , d'un endomorphisme ${\displaystyle T}$ appelé opérateur de translation et d'une application (linéaire) de multiplication

${\displaystyle Y:V\otimes V\to V((z))}$,

qu'on écrit

${\displaystyle (a,b)\mapsto Y(a,z)b=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}bz^{-n-1}=a(z)b}$,

vérifiant les axiomes suivants :

1. (Identité) Pour tout ${\displaystyle a\in V\,}$,

   ${\displaystyle Y(1,z)a=a=az^{0}\,}$ et ${\displaystyle Y(a,z)1\in a+zV[[z]]\,}$ (autrement dit, ${\displaystyle a_{n}1=0}$ pour ${\displaystyle n\geq 0}$ et ${\displaystyle a_{-1}1=a}$),

2. (Translation) ${\displaystyle T(1)=0}$, et pour tous ${\displaystyle a,b\in V\,}$,

   ${\displaystyle Y(a,z)Tb-TY(a,z)b={\frac {d}{dz}}Y(a,z)b}$,

3. (4 points) Pour tous ${\displaystyle a,b,c\in V\,}$, il existe un élément ${\displaystyle X(a,b,c;z,w)\in V[[z,w]][z^{-1},w^{-1},(z-w)^{-1}]}$

   tel que ${\displaystyle Y(a,z)Y(b,w)c}$, ${\displaystyle Y(b,w)Y(a,z)c}$, et ${\displaystyle Y(Y(a,z-w)b,w)c}$ sont les expansions de ${\displaystyle X(a,b,c;z,w)}$ dans ${\displaystyle V((z))((w))}$, ${\displaystyle V((w))((z))}$, et ${\displaystyle V((w))((z-w))}$, respectivement.

L'application de multiplication est souvent vue comme une correspondance entre états et champs ${\displaystyle Y:V\to {\mathcal {F}}(V)}$ (où ${\displaystyle {\mathcal {F}}(V)}$ est l'ensemble des champs sur ${\displaystyle V}$, c'est-à-dire l'ensemble des séries ${\displaystyle a(z)\in (\operatorname {End} V)[[z,z^{-1}]]}$ telles que pour tout vecteur ${\displaystyle b\in V}$ on a ${\displaystyle a(z)b\in V((z))}$ ) associant une distribution formelle à coefficient opérateurs (un opérateur vertex) à chaque vecteur. Physiquement, la correspondance est une insertion à l'origine et ${\displaystyle T}$ est un générateur infinitésimal des translations. L'axiome des 4 points mélange l'associativité et la commutativité, aux singularités près.

Remarque : l'axiome de translation entraîne que ${\displaystyle Ta=a_{-2}1}$, donc ${\displaystyle T}$ est uniquement déterminé par ${\displaystyle Y}$.

Remarque : l'axiome des 4 points peut être remplacé par l'axiome suivant appelé axiome de localité :Pour tous ${\displaystyle a,b\in V}$ il existe ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ tel que ${\displaystyle (z-w)^{N}[a(z),b(w)]=0}$ (où ${\displaystyle [a(z),b(w)]=(a(z)b(w)-b(w)a(z)}$ ).

Soient ${\displaystyle a,b\in V}$. Le calcul explicite de ${\displaystyle [a(z),b(w)]=\sum _{m,n\in \mathbb {Z} }[a_{m},b_{n}]z^{-m-1}w^{-n-1}}$ donne les deux égalités suivantes appelées identités de Borcherds : pour tous ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$,

• ${\displaystyle [a_{m},b_{n}]=\sum _{i\geq 0}{\binom {m}{i}}(a_{i}b)_{m+n-i}}$,
• ${\displaystyle (a_{m}b)_{n}=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j}{\binom {m}{j}}(a_{m-j}b_{n+j}-(-1)^{m}b_{m+n-j}a_{j})}$,

où ${\displaystyle {\binom {m}{i}}={\frac {m(m-1)\ldots (m-i+1)}{i(i-1)\ldots 1}}}$, pour tout ${\displaystyle i\geq 0}$.

Une algèbre vertex ${\displaystyle V}$ est dite commutative si pour tout ${\displaystyle a,b\in V}$, les opérateurs vertex associés commutent (i.e. ${\displaystyle [a(z),b(w)]=0}$). En particulier cela signifie que ${\displaystyle N=0}$ pour tous vecteurs ${\displaystyle a,b\in V}$ dans l'axiome de localité. Une condition équivalente est ${\displaystyle [a_{m},b_{n}]=0}$ pour tous ${\displaystyle a,b\in V}$ et tous entiers ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$.

Si ${\displaystyle V}$ est une algèbre vertex commutative alors ${\displaystyle a(z)\in \operatorname {End} V[[z]]}$ pour tout ${\displaystyle a\in V}$, c'est-à-dire ${\displaystyle a_{n}=0}$ pour ${\displaystyle n\geq 0}$.

Une algèbre vertex commutative admet une structure d'algèbre différentielle (i.e. algèbre commutative unitaire munie d'une dérivation). En effet, une algèbre vertex commutative possède une structure d'algèbre commutative unitaire via le produit${\displaystyle a\cdot b=:ab:=a_{-1}b}$,où l'unité est ${\displaystyle 1}$ et l'opérateur de translation ${\displaystyle T}$ agit comme une dérivation sur ${\displaystyle V}$ (il vérifie la relation de Leibniz) :${\displaystyle T(a\cdot b)=(Ta)\cdot b+a\cdot (Tb)}$.Réciproquement toute algèbre différentielle admet une structure d'algèbre vertex commutative.

Une algèbre vertex ${\displaystyle V}$ est ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$-graduée si ${\displaystyle V=\bigoplus _{n=0}^{\infty }V_{n}\,}$et si ${\displaystyle a\in V_{k}}$ et ${\displaystyle b\in V_{m}}$ implique ${\displaystyle a_{n}b\in V_{k+m-n-1}}$.

Une algèbre vertex est dite conforme si elle est ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$-graduée et s'il existe un élément ${\displaystyle \omega \in V_{2}}$ dit conforme, tel que l'opérateur vertex associé${\displaystyle Y(\omega ,z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\omega _{n}{z^{-n-1}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$ vérifie, pour tout ${\displaystyle a\in V_{n}}$, les conditions suivantes :

• ${\displaystyle L_{0}a=na}$,
• ${\displaystyle Y(L_{-1}a,z)={\frac {d}{dz}}Y(a,z)=[Y(a,z),T]\,}$ (autrement dit ${\displaystyle L_{-1}=T}$),
• ${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {m^{3}-m}{12}}\delta _{m+n,0}c}$,

où ${\displaystyle c}$ est une constante appelée la charge centrale ou le rang de ${\displaystyle V}$.

Remarque : ceci munit ${\displaystyle V}$ d'une action de l'algèbre de Virasoro ${\displaystyle Vir}$.

Exemple : l'algèbre vertex de Virasoro ${\displaystyle Vir_{c}}$ est conforme de charge centrale ${\displaystyle c}$. Un vecteur conforme est donné par ${\displaystyle \omega =L_{-2}1.}$

• (en) Edward Frenkel et David Ben-Zvi, Vertex algebras and algebraic curves, Providence (R. I.), American Mathematical Society, 2004, 400 p. (ISBN 0-8218-3674-9 et 978-0-8218-3674-3, OCLC 55510252, lire en ligne)
• Victor Kac, Vertex algebras for beginners, American Mathematical Society, 1998, 201 p. (ISBN 0-8218-1396-X, 978-0-8218-1396-6 et 0-8218-0643-2, OCLC 39727958, lire en ligne)