Algèbre de Virasoro

L'algèbre de Virasoro ${\displaystyle \mathrm {Vir} }$ s'obtient comme extension centrale de l'algèbre de Witt (en) complexe :

${\displaystyle {\mathcal {D}}=\bigoplus _{s\in \mathbb {Z} }d_{s}}$

munie des opérateurs de dérivation

${\displaystyle d_{s}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}}$.

On a la suite exacte courte :

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} c\to \mathrm {Vir} \to {\mathcal {D}}\to 0}$

avec ${\displaystyle c}$ la charge centrale (en), le crochet de Lie associé étant :

${\displaystyle \left[d_{i},d_{j}\right]=(i-j)d_{i+j}+{\frac {1}{12}}(i^{3}-i)\delta _{i,-j}c}$.

Le facteur 1/12 est conventionnel, et cette extension centrale est unique à isomorphisme d'algèbres de Lie près.

La théorie des représentations de l'algèbre de Virasoro montre que les représentations irréductibles de plus bas poids sont caractérisées par deux nombres complexes ${\displaystyle h}$ (« énergie ») et ${\displaystyle c}$ (« charge centrale »). Une telle représentation est unitaire si elle possède un produit scalaire qui adjoint ${\displaystyle d_{s}}$ à ${\displaystyle d_{-s}}$.

La construction GKO (Goddard, Kent, Olive) donne les représentations de l'algèbre de Virasoro, et montre que les représentations unitaires s'identifient à des produits tensoriels de représentations unitaires d'algèbres de Kac-Moody. En théorie des cordes, le tenseur énergie-impulsion satisfait les relations de commutation de l'algèbre de Virasoro, un phénomène connu sous le nom de contrainte de Virasoro. Il existe deux extensions supersymétriques de l'algèbre de Virasoro : l'algèbre de Neveu-Schwarz et l'algèbre de Ramond, qui lui sont très similaires.

• (en) Peter Goddard, Adrian Kent et David Olive, « Unitary representations of the Virasoro and super-Virasoro algebras », Comm. Math. Phys., vol. 103, n^o 1,‎ 1986, p. 105–119 (lire en ligne)
• (en) « Algèbre de Virasoro », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• (en) Victor Kac, « Bombay lectures on highest weight representations », World Sci.,‎ 1987 (ISBN 9971-5-0395-6)
• (en) Miguel Virasoro, « Subsidiary conditions and ghosts in dual-resonance models », Physical Review D, vol. 1, n^o 10,‎ 1970, p. 2933 (DOI 10.1103/PhysRevD.1.2933, Bibcode 1970PhRvD...1.2933V)
• (en) A. J. Wassermann, Lecture Notes on the Kac-Moody and Virasoro algebras