Théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt

Soit ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ une algèbre de Lie, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ une base de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. On suppose que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est totalement ordonnée. On appelle monôme canonique toute suite finie ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ croissante au sens large (c'est-à-dire que pour tout ${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$, ${\displaystyle x_{i}\leq x_{i+1}}$).

La définition de l'algèbre enveloppante ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ assure l'existence d'une application linéaire

${\displaystyle L:{\mathfrak {g}}\longrightarrow U({\mathfrak {g}})}$.

On étend ${\displaystyle L}$ aux monômes canoniques en posant

${\displaystyle L(x_{1},\dots ,x_{n})=L(x_{1})L(x_{2})\dots L(x_{n})}$

ce qui a un sens puisque ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ est une algèbre associative sur un corps.

Le théorème proprement dit est le suivant :

L'application ${\displaystyle L}$ définit une injection de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ dans ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$, et l'ensemble des images par ${\displaystyle L}$ des monômes canoniques est une base de ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$.

Autrement dit, soit ${\displaystyle Y=L({\mathcal {B}})}$. Alors l'ensemble

${\displaystyle \{y_{1}^{k_{1}}\dots y_{l}^{k_{l}},y_{i}\in Y,y_{i}\leq y_{i+1}\}}$

est une base de ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$.

L'application ${\displaystyle L}$ est injective. Ainsi, en munissant ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ de sa structure naturelle d'algèbre de Lie (en posant ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$), ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ peut être vue comme une sous-algèbre de Lie de ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$.

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