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AlgĂšbre de Gerstenhaber

En mathématiques, une algÚbre de Gerstenhaber est une structure algébrique qui généralise en un certain sens les algÚbres de Lie et de Poisson. Elle tient son nom de Murray Gerstenhaber qui les a introduites en 1963. Formellement, c'est un espace vectoriel gradué muni de deux lois de degrés différents et de symétries opposées.

Les algĂšbres de Gerstenhaber exactes, aussi connues sous le nom d’algĂšbres de Batalin-Vilkovisky ou BV-algĂšbres interviennent dans le formalisme Batalin-Vilkovisky (en) qui permet d'Ă©tudier les champs fantĂŽmes (en) des thĂ©ories de jauges lagrangiennes.

DĂ©finition

On dit que est une algÚbre de Gerstenhaber (graduée) lorsque :

  • G est un espace vectoriel -graduĂ©, le degrĂ© d'un Ă©lĂ©ment a Ă©tant notĂ© ;
  • Le « produit Â» est de degrĂ© 0, c'est-Ă -dire que pour tout couple (a, b) d'Ă©lĂ©ments de G, ;
  • Le crochet de Lie est de degrĂ© -1, c'est-Ă -dire que pour tout couple (a, b) d'Ă©lĂ©ments de G, ;
  • est une algĂšbre graduĂ©e commutative ;
  • est une algĂšbre de Lie graduĂ©e (en) ;
  • La « relation de Leibniz Â» suivante est vĂ©rifiĂ©e pour tous a, b, c Ă©lĂ©ments de G : .

Exemples

Articles connexes

Références

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