AlgĂšbre de Gerstenhaber
En mathématiques, une algÚbre de Gerstenhaber est une structure algébrique qui généralise en un certain sens les algÚbres de Lie et de Poisson. Elle tient son nom de Murray Gerstenhaber qui les a introduites en 1963. Formellement, c'est un espace vectoriel gradué muni de deux lois de degrés différents et de symétries opposées.
Les algĂšbres de Gerstenhaber exactes, aussi connues sous le nom dâalgĂšbres de Batalin-Vilkovisky ou BV-algĂšbres interviennent dans le formalisme Batalin-Vilkovisky (en) qui permet d'Ă©tudier les champs fantĂŽmes (en) des thĂ©ories de jauges lagrangiennes.
DĂ©finition
On dit que est une algÚbre de Gerstenhaber (graduée) lorsque :
- G est un espace vectoriel -gradué, le degré d'un élément a étant noté ;
- Le « produit » est de degré 0, c'est-à -dire que pour tout couple (a, b) d'éléments de G, ;
- Le crochet de Lie est de degré -1, c'est-à -dire que pour tout couple (a, b) d'éléments de G, ;
- est une algÚbre graduée commutative ;
- est une algÚbre de Lie graduée (en) ;
- La « relation de Leibniz » suivante est vérifiée pour tous a, b, c éléments de G : .
Exemples
- L'espace des multichamps de vecteurs, munis du produit extérieur et du crochet de Schouten-Nijenhuis (en), forme une algÚbre de Gerstenhaber.
- L'algÚbre extérieure d'une algÚbre de Lie est une algÚbre de Gesternhaber.
- Les formes différentielles sur une variété de Poisson forment une algÚbre de Gesternhaber.
- La cohomologie de Hochschild H*(A,A) d'une algÚbre graduée A est une algÚbre de Gerstenhaber.
- L'homologie d'une E2-algĂšbre (en) est une algĂšbre de Gerstenhaber.
Références
- (en) Murray Gerstenhaber, « The cohomology structure of an associative ring », Annals of Mathematics, vol. 78,â , p. 267â288 (DOI 10.2307/1970343, JSTOR 1970343)
- GrĂ©gory Ginot, « Homologie et modele minimal des algebres de Gerstenhaber », Annales MathĂ©matiques Blaise Pascal, UniversitĂ© Blaise-Pascal, DĂ©partement de mathĂ©matiques, vol. 11,â (lire en ligne)
- (en) Ping Xu, « Gerstenhaber algebras and BV-algebras in Poisson geometry », Communications in Mathematical Physics, vol. 200, no 3,â , p. 545-560 (DOI 10.1007/s002200050540)
Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplĂ©mentaires peuvent sâappliquer aux fichiers multimĂ©dias.