Verticale et surface de niveau
Verticale et surfaces de niveau mettent en évidence les dénivellations affectant un territoire géographique lorsqu'il est représenté sur un plan. La verticale d'un point de la surface est une ligne imaginaire traversant ce point et dirigé vers le bas, suivant la pesanteur. Les courbes de niveau sont les tracés formés sur la surface par ses intersections avec des plans perpendiculaires à la verticale et espacés à des altitudes réguliÚres ; chacun de ces plans est l'approximation locale d'une surface de niveau (étendue à toute la Terre).
Verticale et pesanteur
La verticale, en un lieu repéré par un point sur la surface terrestre ou dans son voisinage, est définie par la direction de la pesanteur en , et matérialisée par la direction d'un fil à plomb suspendu en ou par l'axe « vertical » d'un niveau optique mise en station au point . La pesanteur s'obtient en prenant le gradient du potentiel de pesanteur , somme des potentiels gravifique et axifuge , au point . Selon qu'on décide par convention d'orienter la verticale vers l'intérieur de la Terre ou vers l'extérieur, le vecteur unitaire fournissant l'orientation de la verticale du lieu est fourni par ou , respectivement. Le symbole (nabla) désigne l'opérateur gradient, qui en coordonnées cartésiennes peut s'écrire , désignant un vecteur unitaire orienté positivement le long de l'axe .
Gradient du potentiel de pesanteur et dérivée dans une direction
Le gradient du champ scalaire est un champ vectoriel, en l'occurrence le champ de pesanteur . Le potentiel de pesanteur Ă©tant une fonction du point , le voisinage de peut ĂȘtre dĂ©crit par un petit vecteur joignant Ă tout point voisin . Le taux de croissance de la fonction sera en gĂ©nĂ©ral diffĂ©rent selon la direction et le sens de , et nous pouvons Ă©crire comme suit le taux de croissance de dans la direction caractĂ©risĂ©e par le vecteur unitaire [1] :
et définir la dérivée du potentiel de pesanteur dans la direction du vecteur unitaire par
Lorsque le vecteur unitaire possÚde la direction et le sens d'un axe du triÚdre de référence, soit orienté selon le vecteur unitaire , ceci permet de définir les dérivées partielles
Constatons toutefois que ces dérivées partielles ne sont pas trÚs intéressantes car elles dépendent manifestement du choix du systÚme de référence et ne sont donc pas des quantités scalaires. Par contre, les dérivées dans une direction représentent des fonctions scalaires, le systÚme de référence n'intervenant pas dans leur définition.
On démontre en analyse mathématique, par exemple en se basant sur la formule des accroissements finis, que
oĂč , , sont les composantes du vecteur unitaire ou encore, ce qui est Ă©quivalent, les cosinus directeurs de l'axe dans la direction duquel on dĂ©rive. Cette derniĂšre formule indique que la dĂ©rivĂ©e de dans la direction du vecteur unitaire s'obtient en formant un produit scalaire, Ă savoir
Surface de niveau
La formule précédente a des conséquences fort intéressantes. En effet, si désigne l'angle entre la direction du gradient du potentiel de pesanteur (donc la direction de la verticale) et la direction , la dérivée du potentiel de pesanteur le long de peut s'écrire
Ainsi, si est parallĂšle Ă la direction de la verticale en (c'est-Ă -dire ou ), est maximum et vaut , et si est perpendiculaire Ă la verticale en (c'est-Ă -dire ou ), . En d'autres termes, le taux de variation du potentiel de pesanteur est maximum en valeur absolue dans la direction de la verticale, et nul dans une direction contenue dans le plan perpendiculaire Ă la verticale en . Ce plan est donc tangent en Ă la surface
qu'on appelle surface de niveau. Pour un point arbitraire, la pesanteur , autrement dit le gradient du potentiel de pesanteur , est donc normale Ă la surface de niveau passant par ce point. Comme le potentiel de pesanteur reste constant sur une surface de niveau, on parle aussi d'une surface Ă©quipotentielle du champ de pesanteur.
Voir aussi
Liens internes
Notes
- Le point appartient à un espace de points ; son analogue dans l'espace vectoriel associé est , le point étant un point arbitraire de l'espace ponctuel considéré comme point-origine.