Vecteur d'onde

Le vecteur d'onde est très utile pour généraliser l'équation d'une onde à la description d'une famille d'ondes. Si toutes les ondes d'une famille se propagent dans la même direction et possèdent la même longueur d'onde, elles peuvent toutes être décrites par le même vecteur d'onde. Le cas le plus courant d'une famille d'ondes respectant ces conditions est celle d'une onde plane, pour laquelle la famille d'ondes est également cohérente (toutes les ondes possèdent la même phase).

λ, la longueur d'onde d'une onde sinusoïdale, est la distance physique entre deux points de la courbe qui possèdent la même phase, par exemple deux pics, deux creux ou deux passages à zéro avec la même pente.

Il existe deux définitions du vecteur d'onde, dont la différence est un facteur 2π dans son module. L'une d'elles est préférée en physique et ses différents domaines, l'autre en cristallographie[1]. Dans la suite de cet article, ces deux définitions seront appelées « définition physique » et « définition cristallographique ».

La direction dans laquelle pointe un vecteur d'onde doit être différenciée de la direction de propagation de l'onde. Cette dernière est la direction du flux d'énergie de l'onde, et la direction dans laquelle un petit paquet d'onde va bouger, c'est-à-dire la direction de la vitesse de groupe. Pour les ondes électromagnétiques, c'est également la direction du vecteur de Poynting. La direction du vecteur d'onde correspond, elle, à celle de la vitesse de phase, c'est-à-dire qu'il pointe dans la direction normale à la surface d'égale phase de l'onde, c'est-à-dire le front d'onde.

Dans un milieu isotrope sans perte, tel que l'air, n'importe quel gaz, liquide et certains solides (comme le verre), ces deux directions sont identiques : le vecteur d'onde pointe alors exactement dans la même direction que celle de la propagation de l'onde. En revanche, dans un milieu avec pertes, le vecteur d'onde pointe en général dans une direction différente. La condition pour que les deux pointent dans la même direction est que l'onde soit homogène, ce qui n'est pas nécessairement le cas dans un milieu avec pertes. Dans une onde homogène, la surface d'égale phase de l'onde est aussi la surface d'égale amplitude. Pour les ondes inhomogènes, ces deux surfaces ont des orientations différentes, et le vecteur d'onde reste toujours perpendiculaire à la surface d'égale phase.

Quand une onde se propage dans un milieu anisotrope, par exemple quand une onde lumineuse passe dans un cristal asymétrique ou qu'une onde sonore passe à travers une roche sédimentaire, le vecteur d'onde peut ne pas pointer dans la direction exacte de propagation de l'onde[3] - [4].

La valeur ${\displaystyle \psi }$ peut aussi bien désigner la valeur complexe de la projection suivant un axe (x par exemple) d'un champ électrique

${\displaystyle {\vec {\mathbf {E} }}={\begin{bmatrix}E_{0}\cdot e^{i\phi _{E}}\cdot e^{i\left({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t\right)}\\0\\0\\\end{bmatrix}}}$

Ou tout aussi bien la valeur complexe de la projection suivant un axe (y par exemple) d'un champ magnétique

${\displaystyle {\vec {\mathbf {B} }}={\begin{bmatrix}0\\B_{0}\cdot e^{i\phi _{B}}\cdot e^{i\left({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t\right)}\\0\\\end{bmatrix}}}$

Dans le cas de l'approximation d'une onde plane ces deux vecteurs et le vecteur d'onde (placé dans ce cas suivant l'axe z) forment un trièdre orthogonal.

${\displaystyle {\vec {\mathbf {K} }}={\begin{bmatrix}0\\0\\k_{z}\\\end{bmatrix}}}$

De nombreuses démonstrations faites avec les nombres complexes (et des exponentielles) s'avèrent non seulement plus élégantes mais aussi plus simples à comprendre. Le résultat doit cependant être transformé en nombre réel en respectant la convention de signe choisie : i ou -i.

Le quadrivecteur d'ondechap. 7,_sect._7.6,_§ 7.6.3_5-0">[5] - chap. 3,_sect._IV,_§ IV.2_6-0">[6] - col. 1''s.v.''_quadrivecteur_d'onde_7-0">[7] est le quadrivecteur qui réunit la pulsationchap. 3,_sect._IV,_§ IV.2_6-1">[6] et le vecteur d'ondechap. 3,_sect._IV,_§ IV.2_6-2">[6] - col. 1''s.v.''_quadrivecteur_d'onde_7-1">[7].

Avec ${\displaystyle \mu =\left(0,1,2,3\right)=\left(ct,x,y,z\right)}$, il est notépart._III,_chap. 10,_sect._10.2,_box_10.1_8-0">[8] :

${\displaystyle k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)}$.

En ce qui concerne les ondes électromagnétiques, on peut introduire un quadrivecteur d'onde ${\displaystyle K_{4}=\left({\omega \over c};k_{x};k_{y};k_{z}\right)}$ et un quadrivecteur position ${\displaystyle \ R_{4}=(ct;x;y;z)}$ issus de l'espace de Minkowski, et en utilisant la forme bilinéaire de l'espace de Minkowski, on a :

${\displaystyle \psi \left(t,{\vec {\mathbf {r} }}\right)=A_{0}\cdot e^{i\phi }\cdot e^{iK_{4}\cdot R_{4}}}$

avec c la vitesse de la lumière.

Le comportement des composantes du quadrivecteur d'onde sous une transformation de Lorentz permet de rendre compte de l'effet Doppler relativiste et de l'effet d'aberrationcol. 1''s.v.''_quadrivecteur_d'onde_7-2">[7].

Le quadrivecteur d'onde ${\displaystyle k}$ est relié au quadrivecteur énergie-impulsion ${\displaystyle p}$ parcol. 1''s.v.''_quadrivecteur_d'onde_7-3">[7] :

${\displaystyle p=\hbar k}$,

où ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ est la constante dite de Dirac.

L'égalité est utilisée afin d'exprimer, par cette seule équation quadrivectorielle, les relations respectivement proposées par Albert Einstein (1879-1955) et Louis de Broglie (1892-1987) pour la dualité onde-corpuscule des particules quantiques, à savoir : ${\displaystyle E=\hbar \omega }$ et ${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$col. 1''s.v.''_quadrivecteur_d'onde_7-4">[7]. Pour une onde se propageant à la vitesse ${\displaystyle c}$, ce qui correspond à une particule de masse nulle, la quadrivecteur d'onde est de genre lumière, sa norme étant nullecol. 1''s.v.''_quadrivecteur_d'onde_7-5">[7].