Transformation en Z

Sa définition mathématique est la suivante : la transformation en Z est une application qui transforme une suite s (définie sur les entiers) en une fonction S d'une variable complexe nommée z, telle que :

${\displaystyle S(z)={\mathcal {Z}}\{s(n)\}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }s(n)z^{-n},\quad z\in \left\lbrace z\in \mathbb {C} {\Big |}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }s(n)z^{-n}\quad \mathrm {converge} \right\rbrace }$

La variable n représente en général le temps discrétisé, la variable complexe z n'est qu'un être mathématique. Lorsqu'on travaille sur s(n) on dit que l'on est dans le domaine temporel, lorsqu'on travaille sur S(z) le domaine est appelé fréquentiel par analogie avec la transformée de Fourier.

Si ${\displaystyle \forall n<0,\ s(n)=0}$, on parle de signal causal. Inversement, si ${\displaystyle \forall n>0,\ s(n)=0}$, on parle de signal anti-causal.

Pour les signaux causaux, on peut aussi utiliser la transformée en Z monolatérale :

${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{+}\left\{s\left(n\right)\right\}=\sum _{n=0}^{+\infty }s\left(n\right)z^{-n}}$

Le domaine de convergence est le sous-ensemble de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dans lequel la série converge.
Autrement dit, le domaine de convergence de la transformée en ${\displaystyle z}$ de la suite ${\displaystyle (x(n))_{n\in \mathbb {Z} }}$ est l'ensemble :

${\displaystyle \left\{z\in \mathbb {C} {\Big |}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}\quad \mathrm {existe} \right\}}$

Le sous-ensemble de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dans lequel cette série converge absolument est appelé la couronne de convergence[1]. En posant ${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }~}$, il vient :

${\displaystyle |S(z)|=\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}\right|\leqslant \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x(n)\right|\rho ^{-n}=\lim _{N,M\rightarrow \infty }S_{N,M}\left(\rho \right),}$ avec ${\displaystyle S_{N,M}\left(\rho \right)=\sum _{n=-N}^{M}\left\vert x(n)\right\vert \rho ^{-n}.}$

Le domaine de convergence absolue de ${\displaystyle S(z)}$ est donc une couronne

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}=\left\{z\in \mathbb {C}$ :\rho _{1}\prec \left\vert z\right\vert \prec \rho _{2}\right\}}

où ${\displaystyle \prec }$ signifie à chaque fois ${\displaystyle <}$ ou ${\displaystyle \leq }$ et où l'inégalité (large ou stricte) ${\displaystyle \left\vert z\right\vert \succ \rho _{1}}$ (resp. ${\displaystyle \left\vert z\right\vert \prec \rho _{2}}$) est la condition nécessaire et suffisante pour que ${\displaystyle S_{N,M}\left(\rho \right)}$ ait une limite finie lorsque ${\displaystyle M}$ (resp. ${\displaystyle N}$) tend vers ${\displaystyle +\infty }$. Explicitement[2],

${\displaystyle \rho _{1}=\limsup _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left\vert x(n)\right\vert }},\quad \rho _{2}=\liminf _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{\left\vert x(-n)\right\vert }}}.}$

Dans toute la suite de l'article, la couronne de convergence ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}}$ est supposée non vide et les transformées en Z sont valides pour ${\displaystyle z\in {\mathcal {C}}_{c}}$ seulement.

On montre les propriétés énoncées ci-dessous[3] :

Linéarité

La transformée en Z d'une combinaison linéaire de deux signaux est la combinaison linéaire des transformées en Z de chaque signal.

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\{a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n)\}=a_{1}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)\}+a_{2}{\mathcal {Z}}\{x_{2}(n)\}\ }$

Décalage temporel

Le décalage temporel de k échantillons d'un signal se traduit par la multiplication de la transformée en Z du signal par z^−k.

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\{x(n-k)\}=z^{-k}{\mathcal {Z}}\{x(n)\}.~}$

Avance

Lorsqu'on utilise la transformée en Z monolatérale (voir ci-dessus), on obtient

${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{+}\left\{x\left(n+k\right)\right\}=z^{k}\left[{\mathcal {Z}}_{+}\left\{x\left(n\right)\right\}-\sum _{j=0}^{k-1}x\left(j\right)z^{-j}\right]}$

Convolution

La transformée en Z d'un produit de convolution est le produit des transformées en Z

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\{x*y\}={\mathcal {Z}}\{x\}{\mathcal {Z}}\{y\}\ }$

où ${\displaystyle \left(x*y\right)\left(n\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(n-k\right)y\left(k\right)}$.

En effet,

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}Z\left(\left\{x*y\right\}\right)\left(z\right)&=&\sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }\left\{x\star y\right\}\left(n\right)z^{-n}\\&=&\sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(n-k\right)y\left(k\right)z^{-(n-k)}z^{-k}\\&=&\sum \limits _{m=-\infty }^{+\infty }\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(m\right)y\left(k\right)z^{-m}z^{-k}\\&=&\left(\sum \limits _{m=-\infty }^{+\infty }x\left(m\right)z^{-m}\right)\left(\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }y\left(k\right)z^{-k}\right)\end{array}}}$

Multiplication par une exponentielle

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\{a^{n}x(n)\}=X\left({\frac {z}{a}}\right)}$ avec ${\displaystyle X(z)}$ transformée en Z de la suite ${\displaystyle x(n)}$

Multiplication par la variable d'évolution

De façon générale :

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\{n^{k}x(n)\}=\left(-z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)^{k}{\mathcal {Z}}\{x(n)\}\ }$

où ${\displaystyle \textstyle \left(-z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)^{k}{\mathcal {Z}}\{x(n)\}}$ signifie que l'on applique k fois à ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\{x(n)\}}$ l'opérateur ${\displaystyle \textstyle -z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}}$

Si l'on écrit cette formule au rang k=1, on obtient la formule de dérivation :

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\{nx(n)\}=-z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}X(z)\ }$

La transformée en Z inverse est donnée par :

${\displaystyle x(n)={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}\mathrm {d} z\ }$

où ${\displaystyle C}$ est un chemin fermé parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et appartenant entièrement au domaine de convergence.

En pratique, ce calcul s'effectue souvent à l'aide du théorème des résidus et la formule devient dans le cas d'un signal causal :

${\displaystyle x(n)=\sum _{z_{k}={\rm {p{\hat {o}}les\;de\;}}z^{n-1}X(z)}\operatorname {Res} \{z^{n-1}X(z)\}_{z=z_{k}}\,}$

Autres méthodes d'inversion

D'autres méthodes d'inversion pour passer de ${\displaystyle X(z)}$ à ${\displaystyle x(n)}$ sont : la lecture à l'envers de la table des transformées usuelles; l'application des règles de décalage, de combinaisons linéaires, de produit de convolution. En désespoir de cause, on peut toujours essayer de procéder par identification en donnant à z k+1 valeurs numériques et en recherchant les coefficients x(0) à x(k) qui sont solutions d'un système de k+1 équations linéaires à k+1 inconnues. Ou bien essayer de trouver un développement de Taylor ou Maclaurin de la fonction à inverser. Un cas particulier favorable se présente lorsque la fonction ${\displaystyle X(z)}$ est une fraction rationnelle. En effet lorsque :${\displaystyle X(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$ , P et Q étant deux polynômes en 1/z, on peut effectuer la division jusqu'au degré de précision souhaité, et l'on obtient directement les valeurs numériques des coefficients ${\displaystyle x(n)}$, n variant de 0 à m. En l'occurrence on adopte plutôt dans ce cas la notation ${\displaystyle H(z)={NUM(z)}/{DENOM(z)}\ }$. La raison en est que, pour les systèmes discrets ou échantillonnés, la fonction de transfert s'écrit h(n) et sa transformée en Z se présente souvent sous cette forme de quotient entre une sortie (en z) et une entrée (en z): ${\displaystyle H(z)={NUM(z)}/{DENOM(z)}\ }$. Un exemple concret pour illustrer cette démarche:

Quotient de polynômes en z, approximation numérique.

Attention, cette méthode est purement numérique, elle ne fournit pas l'expression analytique de la série inverse. Dans cet exemple, H(z) est le rapport de deux polynômes en 1/z. Le numérateur ressemble à la multiplication par 2 du dénominateur décalé de 1 période, mais on choisit des valeurs numériques un peu inexactes pour éviter un parfait quotient égal à 2/z.

• Le numérateur, de puissance 11, est une expression de la forme : ${\displaystyle \textstyle \scriptstyle NUM(z)=num_{0}+num_{1}(1/z)^{1}+num_{2}(1/z)^{2}+\cdots +num_{11}(1/z)^{11}}$ ${\displaystyle NUM(z)=0+0(1/z)^{1}+2,3\cdot (1/z)^{2}+4,22\cdot (1/z)^{3}+6,2\cdot (1/z)^{4}+8,21\cdot (1/z)^{5}+10,2\cdot (1/z)^{6}+12,2\cdot (1/z)^{7}+12,22\cdot (1/z)^{8}+12,4\cdot (1/z)^{9}+12,4\cdot (1/z)^{10}+12,4\cdot (1/z)^{11}.}$
• Le dénominateur, de puissance 10, est : ${\displaystyle DENOM(z)=0+1,1\cdot (1/z)^{1}+2,1\cdot (1/z)^{2}+3,1\cdot (1/z)^{3}+4,1\cdot (1/z)^{4}+5,1\cdot (1/z)^{5}+6,1\cdot (1/z)^{6}+6,1\cdot (1/z)^{7}+6,2\cdot (1/z)^{8}+6,2\cdot (1/z)^{9}+6,2\cdot (1/z)^{10}.}$
• Ici la division des polynômes ne « tombe pas juste », nous nous contentons d'une approximation du quotient Q(z), de la forme
  ${\displaystyle \sum _{n\geq 0}q_{n}(1/z)^{n}}$
  jusqu'à la puissance 10 :

${\displaystyle {\begin{matrix}Q(z)&=0+2,090909\cdot (1/z)^{1}-0,155372\cdot (1/z)^{2}+0,040421\cdot (1/z)^{3}+0,0309047\cdot (1/z)^{4}-0,015368\cdot (1/z)^{5}\\&+0,007694\cdot (1/z)^{6}+0,101526\cdot (1/z)^{7}-0,176646\cdot (1/z)^{8}+0,061258\cdot (1/z)^{9}+0,015904\cdot (1/z)^{10}.\end{matrix}}}$

• Le reste R(z) de cette division incomplète est :

${\displaystyle {\begin{matrix}R(z)&=0+0\cdot (1/z)^{1}+0\cdot (1/z)^{2}+0\cdot (1/z)^{3}+0\cdot (1/z)^{4}+0\cdot (1/z)^{5}+0\cdot (1/z)^{6}\\&+0\cdot (1/z)^{7}+0\cdot (1/z)^{8}+0\cdot (1/z)^{9}+0\cdot (1/z)^{10}+0\cdot (1/z)^{11}+0,550806\cdot (1/z)^{12}\\&-0,413006\cdot (1/z)^{13}-0,063683\cdot (1/z)^{14}+0,040876\cdot (1/z)^{15}-0,052647\cdot (1/z)^{16}\\&-0,011071\cdot (1/z)^{17}+0,616793\cdot (1/z)^{18}-0,478404\cdot (1/z)^{19}-0,098602(1/z)^{20}.\end{matrix}}}$

On peut vérifier sur un tableur ou à la main que ces polynômes répondent bien à la définition de la division euclidienne: H(z) = NUM(z)/DENOM(z)= Q(z)+ R(z)/DENOM(z). On suppose que le reste est négligeable par rapport aux coefficients du quotient. Les schémas de ces divers polynômes peuvent être visualisés sur un tableur comme suit.

Par curiosité on peut afficher la réponse impulsionnelle de l'approximation Q(z) de H(z). De même on peut afficher la réponse indicielle de Q(z) à un échelon de Heaviside.

Si nous nous contentions d'une approximation moins précise de H(z) par le quotient Q(z), de la forme

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}q_{n}(1/z)^{n}}$

jusqu'à la puissance 5 par exemple : ${\displaystyle \textstyle \scriptstyle Q(z)=0+2,090909\cdot (1/z)^{1}-0,155372\cdot (1/z)^{2}+0,040421\cdot (1/z)^{3}+0,0309047\cdot (1/z)^{4}-0,015368\cdot (1/z)^{5}+0,}$ nous obtiendrions des courbes de réponse légèrement différentes, beaucoup moins précises (imprécision 6 fois plus forte environ). Le choix du degré d'approximation, autrement dit du meilleur compromis entre la précision et la lourdeur des calculs, est dicté par l'examen concret du problème spécifique que l'on traite.

Procédé par identification approximative des coefficients de X(z).

Pour passer de ${\displaystyle X(z)}$ à ${\displaystyle x(n)}$, si aucune méthode ne semble déboucher, en désespoir de cause on peut toujours essayer de procéder par identification en donnant à z k+1 valeurs numériques et en recherchant les coefficients x(0) à x(k) qui sont solutions d'un système de k+1 équations linéaires à k+1 inconnues. Exemple :

Utilisation des fractions rationnelles, exemple de la fonction de transfert de la suite de Fibonacci.

La série génératrice de la suite de Fibonacci est ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {F}}_{n}X^{n}={\frac {X}{1-X-X^{2}}}}$ donc sa transformée en Z est

${\displaystyle F(z)={\frac {z}{z^{2}-z-1}}}$

Pour retrouver la formule de Binet, procédons à la transformation inverse. La méthode des fractions rationnelles peut être tentée. Le dénominateur possède deux pôles, ${\displaystyle z_{0}}$ et ${\displaystyle z_{1}}$ qui sont le nombre d'or :${\displaystyle z_{0}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}}$ et l'opposé de son inverse :${\displaystyle z_{1}=1-\varphi ={1-{\sqrt {5}} \over 2}}$. Pour les calculs rencontrés ci-dessous on se servira des propriétés suivantes de ${\displaystyle z_{0}}$ et ${\displaystyle z_{1}}$ : ${\displaystyle z_{0}-z_{1}=(2\cdot z_{0}-1)={\sqrt {5}}}$, et

${\displaystyle (z-z_{0})\cdot (z-z_{1})=z^{2}-z-1}$.

La fonction se décompose en fractions rationnelles élémentaires que l'on réécrit un peu :

${\displaystyle F(z)={\frac {z}{z^{2}-z-1}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot \left({\frac {z_{0}}{z-z_{0}}}-{\frac {z_{1}}{z-z_{1}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot \left(z_{0}\cdot {\frac {1}{z-z_{0}}}-z_{1}\cdot {\frac {1}{z-z_{1}}}\right)}$.

Une fraction du type ${\displaystyle 1/(z-z_{0})}$ peut se travailler ainsi :

${\displaystyle {\frac {1}{(z-z_{0})}}={\frac {z}{(z-z_{0})}}\cdot {\frac {1}{z}}}$

La première partie étant la transformée de la formule usuelle exponentielle , ${\displaystyle z_{0}^{n}}$, la seconde partie 1/z étant le retard pur d'un cran. Si bien que la transformée inverse de cette fraction élémentaire est ${\displaystyle z_{0}^{n-1}}$, en appliquant les règles de combinaisons linéaire nous calculons la suite cherchée :

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(z_{0}\cdot z_{0}^{n-1}-z_{1}\cdot z_{1}^{n-1}\right)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(z_{0}^{n}-z_{1}^{n}\right).}$

Ci-dessous, ${\displaystyle \delta [n]\,}$ représente l'impulsion unitaire ou « suite de Kronecker » (égale à 1 pour ${\displaystyle n=0}$ et à 0 sinon ; elle peut également s'écrire ${\displaystyle \delta _{0}^{n}}$, où ${\displaystyle \delta _{i}^{j}}$ est le symbole de Kronecker) ; d'autre part, ${\displaystyle u[n]\,}$ désigne l'échelon unitaire (égal à 1 pour ${\displaystyle n\geq 0}$ et à 0 sinon).

Transformées en Z

	Signal ${\displaystyle x(n)}$	Transformée en Z ${\displaystyle X(z)}$	Domaine de convergence
1	${\displaystyle \delta [n]\,}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle \mathbb {C} \ }$
2	${\displaystyle u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
3	${\displaystyle nu[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
4	${\displaystyle a^{n}u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
5	${\displaystyle na^{n}u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
6	${\displaystyle -a^{n}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|\,}$
7	${\displaystyle -na^{n}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|\,}$
8	${\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
9	${\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
10	${\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
11	${\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$

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