Tore d'application

En mathématiques et plus particulièrement en topologie, le tore d'application, dit aussi mapping torus ou encore tore de suspension, d'un homéomorphisme $f$ d'un espace topologique $X$ est l'espace produit $\scriptstyle X\times [0,1]$ quotienté par la relation d'équivalence $\scriptstyle (x,1)\sim (f(x),0)$ .

Propriétés

Le tore d'un homéomorphisme de X est l'espace total d'un fibré sur S¹, de fibre X.
Les tores de deux homéomorphismes f et g de X sont homéomorphes (et même isomorphes, en tant que fibrés) dès que f et g sont conjugués ou isotopes (dans le groupe topologique des homéomorphismes de X, muni de la topologie compacte-ouverte), ou plus synthétiquement : dès qu'il existe un chemin continu (h_t)_t∈[0,1] d'homéomorphismes de X tel que h₁∘f = g∘h₀.
Le tore d'un homéomorphisme $f$ de X est l'espace des orbites de l'action de ℤ sur X×ℝ donnée par $n ∙(x, y) = (f n (x), y + n)$ .

Le tore de l'application identité de $X$ est le fibré trivial.
Si $X=S^{1}$ , le tore de $f$ est le tore T² ou la bouteille de Klein, selon que $f$ conserve ou renverse l'orientation.
Le ruban de Möbius est le tore de l'homéomorphisme $\scriptstyle [-1,1]\to [-1,1],x\mapsto -x$ .

(en) William Thurston, « On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 19,‎ 1988, p. 417–431
François Gautero, Quatre problèmes géométriques, dynamiques ou algébriques autour de la suspension, Habilitation à diriger des recherches, 2006

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