Topologie de l'ordre

Soit (E,≤) un ensemble ordonné (partiellement ou totalement). Considérons deux symboles de flèche ${\displaystyle \rightarrow }$ et ${\displaystyle \leftarrow }$ et supposons, pour éviter toute ambiguïté, que ces symboles ne désignent aucun élément de E.

La topologie de l'ordre sur (E,≤) est la topologie engendrée par les ensembles qui prennent l'une des 3 formes suivante[1] :

1. ${\displaystyle \left]x,y\right[:=\{t\in E\mid x<t<y\}}$
2. ${\displaystyle \left]x,\rightarrow \right[:=\{t\in E\mid x<t\}}$
3. ${\displaystyle \left]\leftarrow ,y\right[:=\{t\in E\mid t<y\}}$

où ${\displaystyle x,y\in E}$.

Un espace topologique ordonné est alors un ensemble ordonné (E,≤) muni de la topologie de l'ordre.

De manière équivalente, la topologie de l'ordre est la topologie engendrée par les ensembles de la forme 2 ou 3, les ensembles de la forme 1 sont donc redondants. En effet cela découle du fait que ${\displaystyle \left]x,y\right[=\left]x,\rightarrow \right[\cap \left]\leftarrow ,y\right[}$.

Lorsque (E, ≤) est totalement ordonné, l'ensemble des parties de la forme 1, 2 ou 3 est stable par intersection finie. De plus, si E contient au moins deux éléments, alors E peut s'écrire comme l'union de tous les ensembles de la forme 2 ou 3. Par conséquent, si E est totalement ordonné et contient au moins deux éléments, alors l'ensemble des parties de la forme 1, 2 ou 3 est une base de la topologie de l'ordre[1].

• La topologie de l'ordre usuel sur ℝ est la topologie usuelle.
• La topologie de l'ordre sur ℝ = {–∞}∪ℝ∪{+∞}[2] (isomorphe à [–1, 1] muni de l'ordre usuel) est la topologie de la droite réelle achevée (homéomorphe à [–1, 1] muni de la topologie usuelle).
• La topologie de l'ordre usuel sur ℕ est la topologie discrète (c'est aussi la topologie usuelle).
• La topologie de l'ordre sur ℕ∪{+∞}⊂ℝ est le compactifié d'Alexandrov [0, ω] de [0, ω[ = ℕ muni de la topologie discrète.
• Pour l'ordre partiel de divisibilité sur ℕ*, la topologie de l'ordre est la topologie discrète.

Dans un espace topologique ordonné (E, ≤), les ensembles ${\displaystyle I}$ de la forme 1, 2 ou 3 sont des intervalles ouverts dans le sens où ils vérifient les deux propriétés suivantes :

• (intervalle) ${\displaystyle \forall x,y\in I,\,x<z<y\implies z\in I}$,
• (ouvert) ${\displaystyle I}$ appartient à la topologie de l'ordre.

Cependant, il peut exister des intervalles ouverts, c'est-à-dire des parties vérifiant les deux propriétés précédentes, qui ne sont pas de la forme 1, 2 ou 3 et qui ne sont pas l'ensemble E tout entier.

Par exemple, si l'on considère l'ensemble des rationnels muni de l'ordre usuel, alors l'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur ou égal à 2 est un intervalle ouvert qui ne prend pas l'une des formes précédentes.

Soit (E, ≤) un ensemble ordonné.

Commençons par remarquer que ${\displaystyle \left[x,\rightarrow \right[\cap \left[y,\rightarrow \right[=\cup _{x\leq t{\text{ et }}y\leq t}\left[t,\rightarrow \right[}$

Les intervalles de la forme ${\displaystyle \left[x,\rightarrow \right[}$ ou égaux à E forment donc une base pour une topologie sur E, appelée parfois topologie de l'ordre à droite ou topologie droite[3]. Ses ouverts sont les sections finissantes de l'ordre.

C'est le cas particulier de la topologie d'Alexandroff associée à un préordre, lorsque ce préordre est un ordre, autrement dit lorsque la topologie associée vérifie la propriété T₀ (la plus faible des propriétés de séparation).

Lorsque (E, ≤) un ensemble totalement ordonné, on peut définir une variante de la topologie ci-dessus.

L'ordre étant total, les intervalles de la forme 2 ou égaux à E forment une base pour une topologie.

Une fonction f à valeurs dans ℝ est semi-continue inférieurement si et seulement si, lorsque ℝ est muni de cette topologie, f est continue[4].

Soit (E, ≤) un ensemble ordonné muni de la topologie de l'ordre.

• Si F est un sous-ensemble de l'ensemble ordonné E, l'ordre induit sur F le munit d'une topologie. Cette topologie de l'ordre induit est moins fine que la topologie induite (par la topologie de l'ordre sur E), parfois strictement : dans le sous-ensemble des réels Y = {–1} ∪ {1/n | n∈ℕ*}, le singleton {–1} est ouvert pour la topologie induite, mais pas pour la topologie de l'ordre induit puisque pour cette dernière, la suite des 1/n converge vers –1.

Lorsque l'ordre sur E est total :

• E est séparée et même complètement normal[5] - [6].
• E est compact si et seulement si c'est un treillis complet[7], c'est-à-dire si toute partie de E admet une borne supérieure (ou ce qui est équivalent, si toute partie de E admet une borne inférieure).
• E est connexe si et seulement s'il est dense et vérifie la propriété de la borne supérieure[8].

En particulier :

• Pour tout ordinal α, le segment d'ordinaux [0, α] est compact. En notant Ω le plus petit ordinal non dénombrable, l'intervalle d'ordinaux [0, Ω[ est séquentiellement compact mais non compact.
• Un corps totalement ordonné est connexe si et seulement s'il vérifie la propriété de la borne supérieure[9].

• Longue droite
• Droite de Sorgenfrey