Théorie du coalescent

L'un des objectifs de la théorie du coalescent est de déterminer la durée écoulée depuis la vie de l'ancêtre commun le plus récent.

On utilise alors la théorie des probabilités. La probabilité que deux lignées coalescent lors de la génération immédiatement précédente est qu'ils aient le même parent. Pour une population diploïde dont la taille reste constante et égale à 2N_e copies de chaque locus, il y a 2N_e parents potentiels dans la génération précédente, donc la probabilité que deux allèles aient le même parent est de 1/(2N_e), et réciproquement, la probabilité qu'il n'y ait pas coalescence est de 1 − 1/(2N_e).

On voit donc que la probabilité de coalescence lorsqu'on remonte les générations, suit une loi géométrique : la probabilité que la coalescence arrive à la t-ième génération précédente (c'est-à-dire qu'il n'y ait pas eu de coalescence lors des t-1 premières générations, et qu'elle advienne à la dernière) est de

${\displaystyle P_{c}(t)=\left(1-{\frac {1}{2N_{e}}}\right)^{t-1}\left({\frac {1}{2N_{e}}}\right).}$

Lorsque N_e est suffisamment grand, une bonne approximation de la distribution est donnée par la loi exponentielle

${\displaystyle P_{c}(t)={\frac {1}{2N_{e}}}e^{-{\frac {t-1}{2N_{e}}}}.}$

L'espérance et l'écart-type d'une loi exponentielle sont toutes deux égales au paramètre, ici 2N_e. Par conséquent, le temps moyen de coalescence est de 2N_e, compté en nombre de générations avant le présent.

La théorie de la coalescence est aussi utilisée pour modéliser la variation d'une séquence d'ADN sous l'influence de la seule dérive génétique. Cette quantité de variation, (parfois appelée hétérozygotie) est notée ${\displaystyle {\bar {H}}}$. Sa moyenne est calculée comme le ratio de la probabilité qu'une mutation arrive lors d'une génération donnée divisée par la somme des probabilités que l'un des deux événements (mutation ou coalescence) arrive à cette génération. Cette mutation pouvant atteindre l'une ou l'autre des deux lignées, sa probabilité est donc notée ${\displaystyle 2\mu }$. Ainsi on obtient, en notant ${\displaystyle \theta =4N_{e}\mu }$,

${\displaystyle {\bar {H}}={\frac {2\mu }{2\mu +{\frac {1}{2N_{e}}}}};}$

${\displaystyle {\bar {H}}={\frac {4N_{e}\mu }{1+4N_{e}\mu }};}$

${\displaystyle {\bar {H}}={\frac {\theta }{1+\theta }}.}$

Lorsque ${\displaystyle 4N_{e}\mu \gg 1}$, la plupart des paires d'allèles ont au moins une différence dans la séquence de leurs nucléotides.

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