Théorème du collage

Collage inspiré par une feuille d'arbre et attracteur associé

Soit X un espace métrique complet. Soit ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X)}$ l'ensemble des parties compactes non vides de ${\displaystyle X}$. On munit ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X)}$ d'une structure d'espace métrique complet avec ${\displaystyle h}$, la distance de Hausdorff sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X)}$[3] - [4]. Soit ${\displaystyle L\in {\mathcal {H}}(X)}$ l'ensemble à approcher, et soit ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Alors il existe une famille de contractions (IFS) ${\displaystyle \{w_{1},w_{2},\dots ,w_{N}\}}$ sur ${\displaystyle X}$, avec rapport de contraction ${\displaystyle s}$, telle que :

${\displaystyle h\left(L,\bigcup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)\leq \varepsilon }$.

Et l'on a

${\displaystyle h(L,A)\leq {\frac {\varepsilon }{1-s}},}$

où ${\displaystyle A}$ est l'attracteur de l'IFS.

• La dernière inégalité découle immédiatement de l'inégalité

${\displaystyle h(L,A)\leq {\frac {h\left(L,\bigcup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)}{1-s}}}$

valable pour tout ${\displaystyle L\in {\mathcal {H}}(X)}$ et tout IFS ${\displaystyle \{w_{1},w_{2},\dots ,w_{N}\}}$ sur ${\displaystyle X}$, d'attracteur ${\displaystyle A}$ et de rapport de contraction ${\displaystyle s}$[5].

• Le théorème du collage apparaît, mise à part l'existence de l'IFS[6], qui est liée à la précompacité de ${\displaystyle L}$, comme un cas particulier du théorème du point fixe de Banach.
• Son intérêt repose sur ses applications[7].
• Le livre[4] de Jean Dieudonné utilisé en référence dans l'énoncé du théorème possède un avant-propos de Gaston Julia, ce qui établit une filiation remarquable entre toutes les idées.

• Voici dans le cadre ci-dessus une famille de 4 contractions affines ${\displaystyle \{w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}\}}$ inspirées par une feuille d'arbre dont on aura dessiné le contour et colorié l'intérieur sur une feuille de papier, dessin qui jouera le rôle de ${\displaystyle L}$. On a fait en sorte que ${\displaystyle h\left(L,\bigcup _{n=1}^{4}w_{n}(L)\right)}$soit assez petite et que s soit de l'ordre de 0,5. On obtient l'attracteur à droite. Cet exemple permet de comprendre ce que l'on appelle le problème inverse, qui est la recherche de méthodes automatiques pour obtenir un ifs qui approche une image donnée[8].

• C'est le principe de construction d'un arbre fractal[9], ou d'un nuage fractal[10], qui est une variation du rectangle.

Ces quelques objets, parfaitement définis mathématiquement, donnent une petite idée des motivations qui ont pu animer depuis les années 1980 des mathématiciens[11].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Collage theorem » (voir la liste des auteurs).

• (en) Une description interactive sur cut-the-knot
• (en) Description par Sandra S. Snyder