Théorème des cercles inscrits égaux

Ce résultat apparaît sans preuve et sans référence en 1991 chez David Wells dans Curious and Interesting Geometry puis dans son édition française[8], mais vu sa conséquence directe du théorème du wasan ci-dessous[1], on peut penser qu'il était connu des mathématiciens japonais de la période Edo.

${\displaystyle h_{1}h_{2}=hh_{3}}$

Dans un triangle ABC de cercle inscrit ${\displaystyle (3)}$ et de hauteur ${\displaystyle h}$ muni d'une cévienne ${\displaystyle [AD]}$, on inscrit deux cercles ${\displaystyle (1)}$ et ${\displaystyle (2)}$ dans ${\displaystyle ABD}$ et ${\displaystyle ADC}$. On note ${\displaystyle r_{i}}$ le rayon du cercle ${\displaystyle (i)}$ et on pose ${\displaystyle h_{i}=h-2r_{i}}$.

Le théorème stipule que ${\displaystyle h_{1}h_{2}=hh_{3}}$, ce qui peut aussi s'écrire ${\displaystyle \left(1-{\frac {2r_{1}}{h}}\right)\left(1-{\frac {2r_{2}}{h}}\right)=\left(1-{\frac {2r_{3}}{h}}\right)}$.

Ce théorème peut se démontrer en utilisant les aires[1] - [9], le théorème de Stewart[10], ou la géométrie hyperbolique[4].

Il implique directement le théorème des cercles inscrits égaux car si trois cercles bleus consécutifs ont même rayon, il montre que les deux premiers cercles verts ont même rayon, et ainsi de suite.

Dans le triangle ABC, on trace cette fois deux céviennes ${\displaystyle [AD]}$ et ${\displaystyle [AE]}$, et on considère les cercles inscrits ${\displaystyle (1)}$ et ${\displaystyle (2)}$ dans ${\displaystyle ABD}$ et ${\displaystyle AEC}$, et les cercles inscrits ${\displaystyle (3)}$ et ${\displaystyle (4)}$ dans ${\displaystyle ABE}$ et ${\displaystyle ADC}$. Le théorème stipule que ${\displaystyle (1)}$ et ${\displaystyle (2)}$ ont même rayon si et seulement si ${\displaystyle (3)}$ et ${\displaystyle (4)}$ ont même rayon.

Ce théorème a été prouvé par le mathématicien bulgare Jordan Tabov en 1989[2] - [3], mais il constitue une conséquence et une généralisation d'un théorème publié en 1986 par le Turc Hüseyin Demir[11].

On en déduit le théorème des cercles inscrits égaux car il montre que les cercles bleus numéros 1 et 3 étant "égaux", les cercles verts numéros 1 et 2 sont égaux, et ainsi de suite. Il montre aussi la réciproque, à savoir que si les cercles verts sont "égaux", les cercles bleus également.

Le théorème est un corollaire direct du lemme suivant :

Supposons que le n-ième rayon fasse un angle ${\displaystyle \gamma _{n}}$ avec la normale à la base. Si ${\displaystyle \gamma _{n}}$ est paramétré selon la relation ${\displaystyle \tan \gamma _{n}=\sinh \theta _{n}}$, alors les valeurs de ${\displaystyle \theta _{n}=a+nb}$, où ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont des constantes réelles, définissent une suite de rayons satisfaisant la condition d'isométrie des cercles inscrits, et de plus, toute suite de rayons satisfaisant la condition peut être produite par un choix approprié des constantes ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$.

• Fonction hyperbolique
• Théorème japonais pour les polygones inscriptibles
• Théorème japonais pour les quadrilatères inscriptibles
• Tangentes à un cercle

• Equal Incircles Theorem dans cut-the-knot
• Le théorème des cercles inscrits égaux, par Jean-Louis Ayme, avec historique et bibliographie