Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti

Considérons un solide élastique, occupant un volume V et de surface A extérieure, chargé par des forces de contact ${\displaystyle {\vec {T}}}$ et une densité de forces volumiques ${\displaystyle {\vec {f}}}$ (par exemple la gravité). Le triplet ${\displaystyle \{{\vec {u}},{\boldsymbol {\varepsilon }},{\boldsymbol {\sigma }}\}}$ formé du champ de déplacement, du tenseur des déformations et du tenseur des contraintes définit un état élastique du solide, est associé au chargement extérieur ${\displaystyle \{{\vec {T}},{\vec {f}}\}}$ par la conservation de l'énergie mécanique :

${\displaystyle \int _{A}{\vec {T}}\cdot {\vec {u}}\,\mathrm {d} A+\int _{V}{\vec {f}}\cdot {\vec {u}}\,\mathrm {d} V=\int _{V}{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,\mathrm {d} V}$

Le symbole „${\displaystyle \cdot }$“ désigne le produit scalaire de deux vecteurs et le produit doublement contracté « : » (ou « produit de Frobenius »), est une opération entre deux tenseurs A et B que l'on peut définir comme la trace A : B := tr(A^T · B). Le travail développé par les forces extérieures ${\displaystyle {\vec {T}}}$ et ${\displaystyle {\vec {f}}}$ sous le déplacement ${\displaystyle {\vec {u}}}$ est donc égal au travail de déformation des contraintes σ sous les déformations ε.

Les déplacements et les déformations dépendent de ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}(\operatorname {grad} ({\vec {u}})+\operatorname {grad} ({\vec {u}})^{\top })}$. Le mot « grad » désigne ici le gradient, et le T en exposant désigne la transposition. Du tenseur de déformation ε, on peut calculer le tenseur des contraintes σ grâce au tenseur d'élasticité symétrique :

${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {C} ^{\top }\quad \rightarrow \quad {\boldsymbol {\sigma }}:=\mathbb {C}$ :{\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}:\mathbb {C} }

Le produit „:“ contracté d'un tenseur de quatrième ordre (${\displaystyle \mathbb {C} }$) avec un tenseur de deuxième ordre (ε) donne un tenseur de deuxième ordre (σ). L'isotropie de comportement dictée par la loi de Hooke donne

${\displaystyle \mathbb {C} =2\mu \mathbb {I} +\lambda \mathbf {1\otimes 1} \quad \rightarrow \quad {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbb {C}$ :{\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}:\mathbb {C} =2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}+\lambda \operatorname {Sp} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {1} }

Les coefficients ${\displaystyle \{\mu ,\lambda \}}$ sont les Coefficient de Lamé, ${\displaystyle \{\mathbf {1} ,\mathbb {I} \}}$ désigne le tenseur identité de deuxième (resp. de quatrième) ordre tous deux symétriques, de sorte qu'on dispose des identités ${\displaystyle \mathbf {1}$ :{\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}:\mathbf {1} =\operatorname {Sp} ({\boldsymbol {\varepsilon }})} et ${\displaystyle \mathbb {I}$ :{\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}:\mathbb {I} ={\boldsymbol {\varepsilon }}} . Le théorème de Betti n'exige ni l'isotropie, ni l'homogénéité du matériau.

Soit alors ${\displaystyle \{{\vec {\tilde {u}}},{\tilde {\boldsymbol {\varepsilon }}},{\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}\}}$ un second état d'équilibre élastique du solide relatif au chargement ${\displaystyle \{{\vec {\tilde {T}}},{\vec {\tilde {f}}}\}}$. Le théorème de Betti énonce que :

${\displaystyle \int _{A}{\vec {T}}\cdot {\vec {\tilde {u}}}\,\mathrm {d} A+\int _{V}{\vec {f}}\cdot {\vec {\tilde {u}}}\,\mathrm {d} V=\int _{V}{\boldsymbol {\sigma }}:{\tilde {\boldsymbol {\varepsilon }}}\,\mathrm {d} V=\int _{V}{\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,\mathrm {d} V\,.=\int _{A}{\vec {\tilde {T}}}\cdot {\vec {u}}\,\mathrm {d} A+\int _{V}{\vec {\tilde {f}}}\cdot {\vec {u}}\,\mathrm {d} V}$

La symétrie du tenseur d'élasticité ${\displaystyle \mathbb {C} }$, qui résulte de l'hyperélasticité, constitue une hypothèse essentielle[2].

Le théorème de Maxwell-Betti est une conséquence du théorème du travail maximal que nous allons commencer par démontrer.

Soit ${\displaystyle {\vec {u}}}$ un champ de déplacement intérieur au solide, et soit ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}(\operatorname {grad} ({\vec {u}})+\operatorname {grad} ({\vec {u}})^{\top })}$ le champ de déformation correspondant. Considérons un champ de contrainte ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}}$, indépendant du champ de déformation précédent, mais satisfaisant à la condition d'équilibre ${\displaystyle \operatorname {div} {\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}+{\vec {\tilde {f}}}={\vec {0}}}$ et compatible avec les conditions de chargement de surface ${\displaystyle {\vec {\tilde {T}}}={\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\hat {n}}}$, où ${\displaystyle {\vec {\tilde {T}}}}$ est le vecteur contrainte développé par le chargement en surface et où ${\displaystyle {\hat {n}}}$ est le vecteur normal unité à la surface (dirigé par convention vers l'extérieur et noté avec un ^). Le travail réciproque des contraintes de surfaces sous le champ de déplacement ${\displaystyle {\vec {u}}}$ s'exprime avec le tenseur de contrainte :

${\displaystyle \int _{A}{\vec {\tilde {T}}}\cdot {\vec {u}}\;\mathrm {d} A=\int _{A}({\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\hat {n}})\cdot {\vec {u}}\;\mathrm {d} A=\int _{A}({\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\vec {u}})\cdot {\hat {n}}\;\mathrm {d} A}$

Si la surface est suffisamment régulière (sans points anguleux), cette intégrale de surface peut être transformée en intégrale de volume grâce au théorème de flux-divergence ${\displaystyle \textstyle \int _{A}{\vec {v}}\cdot {\hat {n}}\,\mathrm {d} A=\int _{V}\operatorname {div} ({\vec {v}})\,\mathrm {d} V}$ :

${\displaystyle \int _{A}{\vec {\tilde {T}}}\cdot {\vec {u}}\;\mathrm {d} A=\int _{A}({\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\vec {u}})\cdot {\hat {n}}\;\mathrm {d} A=\int _{V}\operatorname {div} ({\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\vec {u}})\;\mathrm {d} V}$

et la formule de Leibnitz donne ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {T} \cdot {\vec {v}})=\operatorname {div} (\mathbf {T} )\cdot {\vec {v}}+\mathbf {T} ^{\top }:\operatorname {grad} ({\vec {v}})}$

${\displaystyle \int _{A}{\vec {\tilde {s}}}\cdot {\vec {u}}\;\mathrm {d} A=\int _{V}\operatorname {div} ({\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\vec {u}})\;\mathrm {d} V=\int _{V}\operatorname {div} ({\tilde {\boldsymbol {\sigma }}})\cdot {\vec {u}}\;\mathrm {d} V+\int _{V}{\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}:\operatorname {grad} ({\vec {u}})\;\mathrm {d} V}$

En y substituant la conditions d'équilibre ${\displaystyle \operatorname {div} {\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}=-{\vec {\tilde {f}}}}$ et en tenant compte du fait que la composante antisymétrique du gradient de déplacement ne travaille pas dans le produit contracté avec le tenseur (symétrique) des contraintes, c'est-à-dire qu'on a l'identité ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}:\operatorname {grad} ({\vec {u}})={\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}}$, on obtient le théorème de l’énergie élastique :

${\displaystyle \int _{A}{\vec {\tilde {T}}}\cdot {\vec {u}}\;\mathrm {d} A+\int _{V}{\vec {\tilde {f}}}\cdot {\vec {u}}\;\mathrm {d} V=\int _{V}{\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\;\mathrm {d} V}$

Pour que ce résultat soit valable, il faut[2] que :

• le champ de déplacement ${\displaystyle {\vec {u}}}$ soit admissible, c’est-à-dire
  • qu’il soit deux fois différentiable dans l’intérieur du solide élastique linéaire, et
  • qu’il soit continu ainsi que son gradient ${\displaystyle \operatorname {grad} {\vec {u}}}$ dans l'intérieur et à la surface du solide (boule fermée) [V] ;
• et que le tenseur des contraintes soit admissible, c’est-à-dire
  • qu’il soit continûment dérivable dans l'intérieur du volume V,
  • qu’il soit continu, ainsi que sa divergence, sur le volume fermé [V].

Dans l'énoncé du théorème de l'énergie élastique, le champ de contrainte et le champ de déformation sont mutuellement indépendants et ne sont donc pas nécessairement liés par une loi de comportement. Les forces extérieures ${\displaystyle \{{\vec {\tilde {T}}},{\vec {\tilde {f}}}\}}$ exercent donc le même travail sous le champ de déplacement, que les contraintes internes sous le champ de déformation élastique.

Considérons un second état de déformation correspondant à l'action de forces extérieures ${\displaystyle \{{\vec {T}},{\vec {f}}\}}$. Le matériau élastique, en se déformant, développe un champ de contraintes ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ et le déplacement moléculaire ${\displaystyle {\vec {\tilde {u}}}}$ un champ de déformation ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\tfrac {1}{2}}(\operatorname {grad} ({\vec {\tilde {u}}})+\operatorname {grad} ({\vec {\tilde {u}}})^{\top })}$. Comme pour l'état précédent, le théorème de l'énergie élastique s'écrit :

${\displaystyle \int _{A}{\vec {T}}\cdot {\vec {\tilde {u}}}\;\mathrm {d} A+\int _{V}{\vec {f}}\cdot {\vec {\tilde {u}}}\;\mathrm {d} V=\int _{V}{\boldsymbol {\sigma }}:{\tilde {\boldsymbol {\varepsilon }}}\;\mathrm {d} V}$

Cette relation reste valable car ${\displaystyle \{{\vec {u}},{\boldsymbol {\varepsilon }},{\boldsymbol {\sigma }}\}}$ et ${\displaystyle \{{\vec {\tilde {u}}},{\tilde {\boldsymbol {\varepsilon }}},{\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}\}}$ sont deux états d'équilibre élastique du solide.

Alors, le tenseur d'élasticité étant symétrique, ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbb {C}$ :{\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}:\mathbb {C} } et ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}=\mathbb {C}$ :{\tilde {\boldsymbol {\varepsilon }}}} de sorte que :

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}:{\tilde {\boldsymbol {\varepsilon }}}=({\boldsymbol {\varepsilon }}:\mathbb {C} ):{\tilde {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\boldsymbol {\varepsilon }}:(\mathbb {C}$ :{\tilde {\boldsymbol {\varepsilon }}})={\boldsymbol {\varepsilon }}:{\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}={\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}}

On retrouve bien l'énoncé continu du théorème de Maxwell-Betti :

${\displaystyle \int _{A}{\vec {T}}\cdot {\vec {\tilde {u}}}\;\mathrm {d} A+\int _{V}{\vec {f}}\cdot {\vec {\tilde {u}}}\;\mathrm {d} V=\int _{V}{\boldsymbol {\sigma }}:{\tilde {\boldsymbol {\varepsilon }}}\;\mathrm {d} V=\int _{V}{\tilde {\boldsymbol {\sigma }}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\;\mathrm {d} V=\int _{A}{\vec {\tilde {T}}}\cdot {\vec {u}}\;\mathrm {d} A+\int _{V}{\vec {\tilde {f}}}\cdot {\vec {u}}\;\mathrm {d} V}$

Là encore, quoique le matériau puisse n'être ni homogène, ni isotrope, la symétrie du tenseur d'élasticité est une condition nécessaire essentielle[2].

• Christian La Borderie, Méthodes Énergétiques