Théorème de réciprocité (électrostatique)

Soit φ₁ et φ₂ les potentiels correspondants à un ensemble de n charges ponctuelles q_i⁽¹⁾ et q_i⁽²⁾, respectivement, occupant les mêmes positions dans l'espace. En notant ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ la permittivité du vide les potentiels s'écrivent :

${\displaystyle \phi _{1}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}^{(1)}}{r_{i}}}}$

où r_i est la distance entre la charge courante et le point où l'on mesure le potentiel.

De même (on change l'indice muet pour les manipulations qui suivent) :

${\displaystyle \phi _{2}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {q_{j}^{(2)}}{r_{j}}}}$

En multipliant la première équation par q_j⁽²⁾, la seconde par q_i⁽¹⁾ en sommant sur j et i, respectivement, il vient[1] :

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\phi _{1}q_{j}^{(2)}=\sum _{i=1}^{n}\phi _{2}q_{i}^{(1)}}$

En faisant apparaître les charges totales :

${\displaystyle \phi _{2}Q_{1}=\phi _{1}Q_{2}\,,\quad Q_{\alpha }=\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{(\alpha )}}$

Soit un volume V contenant une densité volumique de charges ρ₁, limité par la surface ${\displaystyle \partial V}$ et la même géométrie avec la densité de charges ρ₂ , alors :

${\displaystyle \int _{V}\rho _{1}\phi _{2}\mathrm {d} V=\int _{V}\rho _{2}\phi _{1}\mathrm {d} V}$

La démonstration peut être faite à partir des identités de Green[2]. Pour cette raison on parle parfois de théorème de réciprocité de Green.

Une démonstration simple consiste à écrire que le potentiel s'obtient à partir de la loi de Poisson :

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi _{\alpha }=-{\frac {\rho _{\alpha }}{\varepsilon _{0}}}}$

L'expression de réciprocité s'écrit donc :

${\displaystyle \int _{V}\phi _{2}\nabla ^{2}\phi _{1}\mathrm {d} V=\int _{V}\phi _{1}\nabla ^{2}\phi _{2}\mathrm {d} V}$

Le laplacien étant un opérateur auto-adjoint, cette expression est identiquement vérifiée. La démonstration s'obtient en intégrant par parties et en remarquant que les potentiels tendant vers zéro à l'infini[3].

Soit un volume V contenant une densité volumique de charges ρ₁, limité par la surface ${\displaystyle \partial V}$, de normale n, portant la densité surfacique de charges σ₁ et la même géométrie avec les densités de charges ρ₂ et σ₂, alors :

${\displaystyle \int _{V}\rho _{1}\phi _{2}\mathrm {d} V+\int _{\partial V}\sigma _{1}\phi _{2}\mathrm {d} S=\int _{V}\rho _{2}\phi _{1}\mathrm {d} V+\int _{\partial V}\sigma _{2}\phi _{1}\mathrm {d} S}$

La démonstration[4] utilise le théorème de Green

${\displaystyle \int _{V}\left(\phi _{1}\nabla ^{2}\phi _{2}-\phi _{2}\nabla ^{2}\phi _{1}\right)\mathrm {d} V=\int _{\partial V}\left(\phi _{1}{\frac {\partial \phi _{2}}{\partial n}}-\phi _{2}{\frac {\partial \phi _{1}}{\partial n}}\right)\mathrm {d} S}$

et la relation

${\displaystyle \sigma _{\alpha }=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \phi _{\alpha }}{\partial n}}}$

On commence par réécrire la relation de Green :

${\displaystyle \int _{V}\phi _{1}\nabla ^{2}\phi _{2}\mathrm {d} V-\int _{\partial V}\phi _{1}{\frac {\partial \phi _{2}}{\partial n}}\mathrm {d} S=-\int _{V}\phi _{2}\nabla ^{2}\phi _{1}\mathrm {d} V-\int _{\partial V}\phi _{2}{\frac {\partial \phi _{1}}{\partial n}}\mathrm {d} S}$

On obtient la relation cherchée en introduisant les relations donnant ρ_α et σ_α.

• Théorème de réciprocité de Lorentz
• Théorème de réciprocité (électricité)