Théorème de réciprocité de Lorentz

Supposons une source produisant une densité de courant ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ sinusoïdale, de pulsation ω. Cette densité de courant produit un champ électrique ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$ et un champ magnétique ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$. Supposons également une seconde source identique ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ produisant les champs ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$ et ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$. Le théorème de réciprocité établit que, sous réserve de conditions caractérisant le milieu données plus loin, pour le volume V de surface ${\displaystyle \partial V}$ de normale locale n la relation suivante est vérifiée :

${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=\oint _{\!\!\!\!\partial V}\left(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right)\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}$

ou, en utilisant le théorème de flux-divergence :

${\displaystyle \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right)}$

Dans le cas particulier où ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ and ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ sont à support compact et qu'il n'y a pas de terme provenant d'une source à l'infini alors l'intégrale de surface est nulle et :

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,\mathrm {d} V=\int \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,\mathrm {d} V}$

Ce résultat est parfois appelé théorème de réciprocité de Rayleigh-Carson d'après les travaux de Rayleigh sur la propagation du son[7] et ceux de John Renshaw Carson sur l'émission et la réception d'ondes électromagnétiques par une antenne[8] - [9].

Dans le cas de dipôles ponctuels les intégrales disparaissent.

Un autre cas particulier est obtenue lorsque le volume contient toutes les sources, alors :

${\displaystyle \oint _{\!\!\!\!\partial V}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=\oint _{\!\!\!\!\partial V}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}$

Le théorème est mis en défaut dans les milieux non-linéaires et les matériaux ayant des propriétés magnéto-optiques ainsi qu'en présence d'un champ magnétique externe.

Un matériau ohmique est caractérisé par

${\displaystyle \mathbf {J} ^{(e)}={\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {E} ^{(e)}}$

où la conductivité électrique σ est une matrice 3×3 symétrique et J^(e) le courant externe appliqué (le J du paragraphe précédent). Le champ E résultant dans le matériau (le E du paragraphe précédent) est :

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} ^{(e)}+\mathbf {E} ^{(r)}}$

où E^(r) est le champ induit.

Alors :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\int _{V}\left(\mathbf {J} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(r)}-\mathbf {E} _{1}^{(r)}\cdot \mathbf {J} _{2}^{(e)}\right)\mathrm {d} V&=&\int _{V}\left[\sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \left(\mathbf {E} _{2}^{(r)}+\mathbf {E} _{2}^{(e)}\right)-\left(\mathbf {E} _{1}^{(r)}+\mathbf {E} _{1}^{(e)}\right)\cdot \sigma \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]\mathrm {d} V\\&=&\int _{V}\left[\mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {J} _{2}-\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]\mathrm {d} V\end{array}}}$

Pour des conducteurs de faible diamètres quasi-unidimensionnels le terme ci-dessus correspond à la différence des produits des tensions appliquées et des courants induits. Dans le cas le théorème de Rayleigh-Carson devient une simple somme :

${\displaystyle \sum _{i}V_{1}^{(i)}I_{2}^{(i)}=\sum _{i}V_{2}^{(i)}I_{1}^{(i)}}$

où V et I sont les amplitudes complexes de la tension appliquée et du courant résultant.

Le théorème peut être démontré en utilisant les équations de Maxwell[10] - [11] - [12] - [13] ou en utilisant les propriétés de l'opérateur ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ qui relie J et E par ${\displaystyle \mathbf {J} ={\mathcal {O}}(\mathbf {E} )}$. Dans un milieu linéaire cet opérateur s'écrit :

${\displaystyle {\mathcal {O}}={\frac {1}{i\omega }}\left[{\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-\;\omega ^{2}\varepsilon \right]}$

où ε est la permittivité et μ la susceptibilité magnétique, toutes deux tensorielles en général (matrices 3×3 symétriques), scalaires en particulier.

${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ est un opérateur autoadjoint doté du produit intérieur ${\displaystyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int _{V}\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V}$ où F et G sont des champs de vecteurs. Cet opérateur vérifie :

${\displaystyle \left[\mathbf {E} _{1},{\mathcal {O}}(\mathbf {E} _{2})\right]=\left[\mathbf {E} _{2},{\mathcal {O}}(\mathbf {E} _{1})\right]}$

Soit :

${\displaystyle \left(\mathbf {E} _{1},\mathbf {J} _{2}\right)=\left(\mathbf {E} _{2},\mathbf {J} _{1}\right)}$

Cette expression est le théorème de Rayleigh-Carson.

Cette approche permet de généraliser le théorème à tout matériau en disant que la réciprocité s'applique lorsque l'on considère (E₁,J₁) avec les propriétés (ε,μ) et (E₂,J₂) avec les propriétés (ε^T,μ^T) obtenues par transposition.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Reciprocity (electromagnetism) » (voir la liste des auteurs).

• Théorème de réciprocité (électricité)
• Théorème de réciprocité (électrostatique)