Théorème de Siacci

En cinématique du point, la trajectoire est la courbe géométrique décrite par le lieu des positions successives du point matériel (noté M) au cours du temps t, dans son déplacement par rapport à un référentiel donné. Il s'agit donc d'une courbe paramétrique, qui n'est pas nécessairement plane. Il est cependant toujours possible d'orienter positivement cette courbe selon le sens du mouvement, et de prendre un point quelconque de la trajectoire comme origine.

Dans ce contexte, il est possible de définir l'abscisse curviligne s(t) comme la distance parcourue le long de la trajectoire par le point matériel depuis l'origine sur la trajectoire, à une date t donnée. La distance est bien sûr évaluée selon le sens du mouvement, et donc avec cette convention l'abscisse curviligne est une grandeur positive.

Le vecteur position du point matériel P est le vecteur ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {OP} (t)}$, O étant un point quelconque de l'espace, donc pas nécessairement situé sur la trajectoire, pris pour origine.

Les vecteurs vitesse et accélération du point matériel P sont alors définis comme les deux dérivées successives par rapport au temps du vecteur position:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$;

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$.

Afin de résoudre les problèmes, il faut exprimer ces grandeurs dans des repères appropriés.

Plutôt que d'exprimer les vecteurs position, vitesse et accélération dans un repère géométrique fixe lié à l'origine O, il est possible d'utiliser un repère mobile, d'origine au point P, défini par:

• le vecteur unitaire tangent ${\displaystyle \mathbf {e} _{t}}$, dont la direction est celle de la tangente à la trajectoire au point P et le sens est celui du mouvement;
• le vecteur unitaire orthonormal ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$, dont la direction est celle de la perpendiculaire à la tangente en P dans le plan osculateur à la trajectoire, dirigé selon le centre de courbure;
• le vecteur unitaire binormal ${\displaystyle \mathbf {e} _{b}}$, perpendiculaire au plan osculateur donné par ${\displaystyle (\mathbf {e} _{t},\mathbf {e} _{n})}$, et orienté de telle sorte que les trois vecteur unitaires ${\displaystyle (\mathbf {e} _{t},\mathbf {e} _{n},\mathbf {e} _{b})}$ forment un trièdre direct, il suffit de poser: ${\displaystyle \mathbf {e} _{b}=\mathbf {e} _{t}\times \mathbf {e} _{n}}$.

Bien entendu l'expression des vecteurs vitesse et accélération nécessite de dériver les vecteurs de base du trièdre par rapport au temps, et il est qu'alors il vient par exemple ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{t}}{dt}}={\frac {d\mathbf {e} _{t}}{ds}}{\frac {ds}{dt}}=v{\frac {d\mathbf {e} _{t}}{ds}}}$. Il est possible de montrer que la dérivation des vecteurs de base par rapport à l'abscisse curviligne peut se mettre sous la forme suivante:

${\displaystyle \mathbf {e} '_{t}={\frac {d\mathbf {e} _{t}}{ds}}=\gamma \mathbf {e} _{n}}$, où ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\rho }}}$ est la courbure de la trajectoire au point P, inverse du rayon de courbure ${\displaystyle \rho }$, qui lui correspond au rayon du "cercle tangent instantané" à la trajectoire dans le plan osculateur;

${\displaystyle \mathbf {e} '_{n}={\frac {d\mathbf {e} _{n}}{ds}}=-\gamma \mathbf {e} _{t}+\tau \mathbf {e} _{b}}$, où ${\displaystyle \tau }$ est la torsion de la courbe, qui traduit la tendance du plan osculateur à s'incliner si la trajectoire n'est pas plane (sinon ${\displaystyle \tau =0}$).

${\displaystyle \mathbf {e} '_{b}={\frac {d\mathbf {e} _{b}}{ds}}=-\tau \mathbf {e} _{n}}$, bien entendu si la trajectoire est plane cette quantité est nulle et la binormale garde une direction fixe dans d'espace.

A partir des expressions précédentes il est possible de démontrer que les vecteurs vitesses et accélération se décomposent ainsi dans le repère de Frenet:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {ds}{dt}}\mathbf {e} _{t}=v\mathbf {e} _{t}}$;

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {dv}{dt}}\mathbf {e} _{t}+{\frac {v^{2}}{\rho }}\mathbf {e} _{n}}$.

Comme le repère local de Frenet est orthonormal, ces expressions correspondent bien aux composantes des deux vecteurs dans ce repère, et il est facile d'exprimer la valeur de la vitesse et de l'accélération en fonction de celles-ci.

Dans le cas simple d'une trajectoire contenue à tout moment dans un plan, le théorème de Siacci s'écrit:

${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {\gamma v^{2}r}{p}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {h}{p^{2}}}{\frac {dh}{ds}}\mathbf {e} _{t}}$,

ou encore, en faisant apparaître plutôt le rayon de courbure:

${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {v^{2}r}{\rho p}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {h}{p^{2}}}{\frac {dh}{ds}}\mathbf {e} _{t}}$,

où p est la distance entre la projection orthogonale de l'origine O sur la direction de la tangente à la trajectoire en P, autrement dit la distance à la podaire par rapport à l'origine O, et ${\displaystyle h=pv}$, qui correspond au moment cinétique par unité de masse du point matériel par rapport à O[2] - [3].

La démonstration du théorème de Siacci est assez facile[4] et consiste à utiliser l'expression du vecteur position dans le trièdre de Serret-Frenet:

${\displaystyle \mathbf {r} =q\mathbf {e} _{t}-p\mathbf {e} _{n}}$,

pour introduire le vecteur unitaire de la direction radiale ${\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\frac {\mathbf {r} }{r}}}$. Il est alors facile d'exprimer le vecteur unitaire normal en fonction de ${\displaystyle \mathbf {e} _{t}}$ et de ${\displaystyle \mathbf {e} _{r}}$, il vient:

${\displaystyle \mathbf {e} _{n}=-{\frac {r}{p}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {q}{p}}\mathbf {e} _{t}}$, expression valable pour p ≠ 0.

La substitution dans l'expression de Frenet de l'accélération permet d'obtenir sans difficulté l'expression:

${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {\gamma rv^{2}}{p}}\mathbf {e} _{r}+\left({\frac {\gamma qv^{2}}{p}}+v{\frac {dv}{ds}}\right)\mathbf {e} _{t}}$.

Afin de faire apparaître la quantité h, il convient d'utiliser le fait que ${\displaystyle p'={\frac {dp}{ds}}=\gamma q}$[5].

Il vient alors facilement ${\displaystyle {\frac {dh}{ds}}={\frac {d(pv)}{ds}}=p'v+p{\frac {dv}{ds}}=\gamma vq+p{\frac {dv}{ds}}={\frac {p}{v}}\left({\frac {\gamma qv^{2}}{p}}+v{\frac {dv}{ds}}\right)={\frac {p^{2}}{h}}\left({\frac {\gamma qv^{2}}{p}}+v{\frac {dv}{ds}}\right)}$, et finalement l'expression donnée plus haut du théorème de Siacci dans le cas du mouvement plan.

Le théorème de Siacci peut être généralisé au cas où la trajectoire du point matériel P dans le référentiel d'étude n'est pas plane (courbe gauche)[6].

Dans ce cas l'expression précédente est modifiée en ce qui concerne la composante tangentielle et devient:

${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {\gamma v^{2}r}{p}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {h}{p^{2}}}\left({\frac {dh}{ds}}+\tau bv\right)\mathbf {e} _{t}}$,

où b est la distance à la date t entre le plan osculateur et l'origine du repère.

En réalité, l'expression établie lors de la démonstration dans le cas d'une courbe plane, sans faire intervenir le moment cinétique par unité de masse h, est toujours valable:

${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {\gamma rv^{2}}{p}}\mathbf {e} _{r}+\left({\frac {\gamma qv^{2}}{p}}+v{\frac {dv}{ds}}\right)\mathbf {e} _{t}}$.

Toutefois, dans le cas d'une trajectoire gauche, l'expression de la dérivée curviligne de h est modifiée car dans ce cas ${\displaystyle p'=\gamma q-\tau b}$, ce qui conduit après réarrangements à l'expression proposée plus haut du théorème de Siacci.

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