Théorème de Newton-Hamilton

Soit une trajectoire ${\displaystyle (T)}$ elliptique, décrite sous l'action d'une force centrale issue d'un point ${\displaystyle O}$ (évidemment intérieur à l'ellipse). La distance du point courant P à l'origine est nommée OP = r. Soit ${\displaystyle (D)}$ la polaire de ${\displaystyle O}$ par rapport à l'ellipse ; et ${\displaystyle PH}$ la distance du point matériel courant P à la polaire ${\displaystyle (D)}$.

La force centrale est ${\displaystyle F\sim {\frac {r}{(PH)^{3}}}}$.

Ce théorème démontré par Hamilton est déjà en fait dans les Principia de Newton, mais sous une forme légèrement différente. Ceci est en relation avec la transmutation de la force qu'utilise souvent Newton.

• La plus connue est celle de la Proposition 11 des Principia. Le théorème de Hamilton n'en est que la généralisation exprimée en géométrie des polaires. Choix de ${\displaystyle O}$ : le soleil ${\displaystyle S}$ situé au foyer de l'ellipse.

Sa polaire est la directrice ${\displaystyle (D)}$, et donc ${\displaystyle PH^{3}=e^{3}r^{3}}$. On en tire la force ${\displaystyle F\sim {\frac {1}{r^{2}}}}$.

• Une autre application est la position dégénérée du centre de l'ellipse. Il faut alors être prudent, afin de montrer que ${\displaystyle PH^{3}}$ doit être considéré comme constant : on retrouve l'ellipse de Hooke.

• Soit un cercle de diamètre "vertical" ${\displaystyle OA=2R}$. La polaire de ${\displaystyle O}$ est l'axe "horizontal" ${\displaystyle x'Ox}$. On retrouve la Proposition 7 des Principia : le point courant est attiré par ${\displaystyle F\sim {\frac {1}{r^{5}}}}$.

Dans une conique (courbe du second ordre), ${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+2cxy+by^{2}+2dx+2ey+f=0}$, la droite polaire ${\displaystyle (D)}$ de l'origine ${\displaystyle O}$ est ${\displaystyle dx+ey+f=0}$.

Et ${\displaystyle PH^{2}\sim (dx+ey+f)^{2}}$, ${\displaystyle P}$ se trouvant sur la conique.

• L'accélération de Siacci donne ${\displaystyle F\sim {\frac {C^{2}r}{p^{3}R}}}$
• La formule de Frenet ${\displaystyle R\sim (V\wedge A)^{3}}$ conduit à ${\displaystyle p^{3}R\sim (dx+ey+f)^{3}}$

On en déduit : ${\displaystyle F\sim {\frac {C^{2}r}{(dx+ey+f)^{3}}}\sim {\frac {C^{2}r}{(PH)^{3}}}}$.

• Transmutation de la force
• Accélération de Siacci
• Mouvement képlérien