Théorème de Schur-Horn

Étant donnés 2N réels

${\displaystyle d_{1}\geq d_{2}\geq \ldots \geq d_{N}\quad {\rm {et}}\quad \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{N},}$

s'il existe une matrice hermitienne d'éléments diagonaux les d_i et de valeurs propres les λ_i, alors (théorème de Schur[1] - [2])

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}d_{i}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\quad {\rm {et}}\quad \forall n<N\quad \sum _{i=1}^{n}d_{i}\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}.}$

Réciproquement, si ces conditions sont vérifiées alors (théorème de Horn[3] - [4]) il existe une matrice hermitienne, et même une matrice réelle symétrique, d'éléments diagonaux les d_i et de valeurs propres les λ_i.

Pour deux vecteurs de ℝ^N,

${\displaystyle d=(d_{1},d_{2},\ldots ,d_{N})\quad {\rm {et}}\quad \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{N}),}$

il existe une matrice hermitienne (et même alors une matrice réelle symétrique) d'éléments diagonaux les d_i et de valeurs propres les λ_i si et seulement si

${\displaystyle \lambda \succ d}$ (lire : « λ majorise d »),

c'est-à-dire — par définition — si, lorsqu'on réordonne de façon décroissante les composantes de ces deux vecteurs, l'égalité et les N – 1 inégalités ci-dessus sont vérifiées.

Or il existe des caractérisations équivalentes de la majorisation :

• λ majorise d si et seulement s'il existe une matrice bistochastique S telle que d = Sλ.
• λ majorise d si et seulement s'il existe une suite finie de vecteurs dont le premier est λ, le dernier est d et le successeur de chaque vecteur x est une combinaison convexe de x et de l'un de ses transposés.

Notons Λ la matrice diagonale des λ_i.

⇒ : Soit ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ une matrice hermitienne N × N, de valeurs propres les λ_i et de diagonale les d_i. Puisque A est normale, il existe une matrice unitaire U telle que A = UΛU* donc${\displaystyle \forall i=1,\ldots ,N\quad d_{i}=a_{i,i}=\sum _{j=1}^{N}|u_{i,j}|^{2}\lambda _{j},}$ autrement dit, en notant s_i,j = |u_i,j|² et ${\displaystyle S=(s_{i,j})}$ : ${\displaystyle d=S\lambda .}$

Comme U est unitaire, S est bistochastique, ce qui prouve que λ majorise d.

⇐ : Réciproquement, supposons que λ majorise d. On peut alors passer de λ à d par une suite finie de vecteurs dont chacun est obtenu à partir du précédent en ne modifiant que deux composantes u ≤ v, augmentant u d'au plus v – u et diminuant v d'autant. Construisons par récurrence, pour chaque vecteur x de cette suite (en particulier pour le dernier, ce prouvera l'implication), une matrice réelle symétrique de valeurs propres les λ_i et de diagonale x. Pour le premier vecteur, λ, la matrice Λ convient. Supposons construite une matrice ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ pour le vecteur x et construisons une matrice B pour son successeur y, qui ne diffère de x que par deux coordonnées, par exemple, pour simplifier les notations : y₁ = x₁ – δ et y₂ = x₂ + δ avec δ compris entre 0 et x₁ – x₂. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un angle θ entre 0 et π/2 tel que

${\displaystyle \delta =(x_{1}-x_{2})\sin ^{2}\theta +a_{1,2}\sin(2\theta ).}$

Soient R_θ la matrice de rotation plane d'angle θ et I_N–2 la matrice identité de taille N – 2. La matrice diagonale par blocs ${\displaystyle P:={\begin{pmatrix}R_{\theta }&0\\0&I_{N-2}\end{pmatrix}}}$ est orthogonale, et un calcul immédiat montre que B = PAP^T convient.

Inégalité de Hadamard