Théorème de Radon
Le théorème de projection de Radon établit la possibilité de reconstituer une fonction réelle à deux variables (assimilable à une image) à l'aide de la totalité de ses projections selon des droites concourantes. L'application la plus courante de ce théorème est la reconstruction d'images médicales en tomodensitométrie, c'est-à-dire dans les scanneurs à rayon X. Il doit son nom au mathématicien Johann Radon.
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En pratique, il est impossible de disposer de toutes les projections d'un objet solide, seulement un échantillonnage. Mais il existe des méthodes pour combler ce manque d'information conformément à ce que l'on sait a priori sur l'image, par exemple les méthodes d'entropie maximale (voir théorème de Cox-Jaynes).
Transformée de Radon
Considérons une fonction de deux variables ƒ ; c'est typiquement une densité définie dans le plan (x, y). Considérons une droite L de ce plan. La transformée de Radon de cette droite est simplement l'intégrale le long de la droite : , en notant x le vecteur , et donc
- .
Or, la droite L peut être caractérisée par des paramètres polaires (ρ, θ) :
- ρ est la distance de la droite à l'origine du repère,
- θ est l'angle que fait la perpendiculaire à la droite avec l'axe x.
Les coordonnées (x, y) des points de cette droite vérifient l'équation :
- ρ = x⋅cos(θ) + y⋅sin(θ)
On peut donc définir la transformée de Radon de la direction φ donnée par l'intégrale double :
où δ(x) est l'impulsion de Dirac.
Dans le cas où x' et φ sont discrets, la transformée de Radon est équivalente à la transformée de Hough pour une droite.
Transformée inverse de Radon
La reconstruction de la fonction en coordonnées polaires peut alors être réalisée à l'aide de la transformée inverse de Radon :
où est la transformée de Fourier. La transformée inverse de Radon consiste à filtrer toutes les projections et à les propager sur toute l'image dans la même direction où ils avaient été projetés ; d'où le nom « reconstruction par rétroprojection filtrée » parfois aussi utilisé.