Théorème de Radon

Considérons une fonction de deux variables ƒ ; c'est typiquement une densité définie dans le plan (x, y). Considérons une droite L de ce plan. La transformée de Radon de cette droite est simplement l'intégrale le long de la droite : ${\displaystyle \mathrm {R} _{f}(\mathrm {L} )=\int _{\mathrm {L} }f(\mathrm {\bf {x}} )\,|\mathrm {d{\bf {x}}} |}$, en notant x le vecteur ${\displaystyle (x,y)}$, et donc

${\displaystyle \mathrm {R} _{f}(\mathrm {L} )=\int _{\mathrm {L} }f(x,y)\,{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}}$.

Or, la droite L peut être caractérisée par des paramètres polaires (ρ, θ) :

• ρ est la distance de la droite à l'origine du repère,
• θ est l'angle que fait la perpendiculaire à la droite avec l'axe x.

Les coordonnées (x, y) des points de cette droite vérifient l'équation :

ρ = x⋅cos(θ) + y⋅sin(θ)

On peut donc définir la transformée de Radon de la direction φ donnée par l'intégrale double :

${\displaystyle p_{\varphi }(x')=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,\delta (x\cos(\varphi )+y\sin(\varphi )-x')\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

où δ(x) est l'impulsion de Dirac.

Dans le cas où x' et φ sont discrets, la transformée de Radon est équivalente à la transformée de Hough pour une droite.

La reconstruction de la fonction ${\displaystyle f}$ en coordonnées polaires peut alors être réalisée à l'aide de la transformée inverse de Radon :

${\displaystyle {\hat {f}}(r,\theta )=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}^{-1}[|\omega |]*p_{\varphi }(x')\,\mathrm {d} \varphi }$

où ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est la transformée de Fourier. La transformée inverse de Radon consiste à filtrer toutes les projections et à les propager sur toute l'image dans la même direction où ils avaient été projetés ; d'où le nom « reconstruction par rétroprojection filtrée » parfois aussi utilisé.

• Transformée Mojette