Transformée Mojette

Après un an de recherche, la première communication introduisant la « Transformée Mojette » a eu lieu en mai 1995 dans la première édition du congrès national « CORESA » au CCETT de Rennes. Elle sera suivie par de nombreuses publications dans le monde entier. En 2011, le livre "The Mojette transform: theory and applications" chez ISTE-WILEY fut bien reçu par la communauté scientifique. Tout cela a encouragé les enseignants-chercheurs de l’IRCCyN à continuer le travail de recherche sur ce sujet.

Jean-Pierre Guédon, Professeur des Universités et concepteur de la transformée, la nomme la «Transformée Mojette ». Le mot « Mojette » vient du nom des haricots blancs en Vendée, écrit initialement « Moghette ou Mojhette». Dans de nombreux pays, le haricot sec est donc un outil pédagogique de base représentant une unité exacte qui permet d'apprendre l'addition simplement et visuellement. Le choix du nom « Mojette » permet donc de souligner le fait que la transformée n’use que d'addition ou soustraction entières. Il est intéressant de voir que depuis longtemps, les mojettes servent à compter.

Un dicton vendéen dit qu'il faut savoir "compter ses mojettes" c'est-à-dire son argent. Dans le monde anglo-saxon, on parle aussi de "bean counter" ce qui représente le petit fonctionnaire non zélé qui fait les additions. Une vieille expression anglaise dit "he knows how many beans make five ", ce qui veut dire : "il connait son affaire" et qui se réfère à une personne qui est férue de puzzles mathématiques. Cette expression provient des temps des abaques anglaises où les haricots servaient à noter les incréments dans les calculs.

L’objectif original de la « Transformée Mojette » était de créer un outil de mathématique discret qui permette de diviser le plan de Fourier en secteur angulaire et radial. La première tentative d’application fut l’encodage de l’image psychovisuelle reproduisant le canal de la vision humaine. Cependant, elle ne fut jamais réalisée.

La définition "brute" de la transformée Mojette est celle-ci :

${\displaystyle proj(b,p,q)=\sum _{k}^{}\sum _{l}^{}f(k,l)\Delta (b+kq-pl)}$

${\displaystyle \Delta (b)=1}$	${\displaystyle si\,\ b=0}$
${\displaystyle \Delta (b)=0}$	${\displaystyle sinon}$

La figure 1 suivante permet d'expliciter en partie la transformée.

Figure 1 : une grille 4x4 avec ses 16 pixels, ses 4 projections et ses 22 bins

On part de la fonction f(k,l) représentée par les 16 pixels p1 à p16. Ces valeurs possibles de la fonction au point (k,l) différent selon les applications. Cela peut être une valeur binaire 0 ou 1 comme souvent utilisés pour différencier le fond et la forme. Cela peut être une valeur ternaire comme dans le jeu Mojette. Cela peut être également un ensemble fini de valeurs entières entre 0 et (n-1), ou souvent on prend un ensemble de cardinal égal à une puissance de 2 ou bien un nombre premier. Mais cela peut encore être les entiers ou les réels avec un nombre infini de possibilités, même si cette dernière idée ne sera quasiment jamais exploitée.

Avec les indices "k" comme "kolonne" et "l" comme "ligne", on définit un repère cartésien. Mais ici nous n'aurons besoin que des coordonnées entières. En rouge sur la figure 2, on voit que l'on a choisi arbitrairement le point bas gauche comme origine (position 0,0) et le sens des 2 axes. Dans chaque pixel est noté en rouge ses coordonnées.

Figure 2 : les repères de la grille 4x4 et des projections

Pour les projections, le système de coordonnées est donné par celui de la grille. En effet, on respecte 2 impératifs :

• le pixel (0,0) se projette toujours sur le point 0 de la projection (cela provient de la linéarité de l'opérateur Mojette)
• le sens de la projection est fixé "anti-horaire" comme en trigonométrie lorsque l'on va de 0° à 180°.

Cela donne donc nécessairement les positions des bins comme écrit en bleu sur la figure 2. La correspondance est avec la formule (1) : les points rouges correspondent à l'indice (k,l) et les points bleus à l'indice b. Donc il ne reste que les valeurs (p,q) à éclaircir pour avoir tous les éléments de la transformée.

Ces 2 valeurs (p,q) sont précisément celles qui caractérisent la transformée Mojette. Elles définissent l'angle de projection. La figure 3 montre des flèches de couleur correspondant chacune (par le code de couleur) à la projection indexée par (p,q). Pour l'angle 90°, la projection est représentée en dessous de la grille pour plus de commodités mais la direction est bien montante. Le tableau 1 fait la correspondance entre les angles en degrés et les valeurs de p et q.

Figure 3 : les projections de direction (p,q) de la grille 4x4

Les seuls angles valides en Mojette sont donnés par les règles suivantes :

1) un angle est donné par la direction de projection en ligne et colonne

2) une direction est composée de deux entiers (p,q) avec pgcd(p,q)=1

3) un angle est toujours compris entre 0 et 180° ce qui veut dire que q n'est jamais négatif

Ces règles permettent d'avoir une unicité dans la correspondance d'un angle. Par exemple, pour 45°, la règle 2 interdit de définir l'angle par les couples (2,2) ou (3,3) et la règle 3 interdit d'utiliser (-2,-2) ou (-1,-1). Seul l'angle (p=1,q=1) répond à la fois aux 3 règles.

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• HAL : HAL est l'archive ouverte pluridisciplinaire du CNRS destinée au dépôt et à la diffusion d'articles scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, et de thèses. Toutes les publications citées ci-dessous sont accessibles sur HAL.
• La Mojette sauce calculs : article de Presse-Océan expliquant l'origine du nom mojette de cette transformée
• Page web présentant l'équipe de recherche du Pr. Guédon : équipe IVC du laboratoire IRCCyN
• Jeu en ligne: version ludique de la transformée MOJETTE
• Actualité de Polytech Nantes : actualité présentant la transformée MOJETTE et sa version ludique
• Site officiel de Rozo Systems
• Page communautaire GitHub du logiciel RozoFS
• Site officiel de KEOSYS
• Site officiel de QUALIFORMED