Théorème de Noether (mathématiques)

Soit M une variété différentielle de dimension ${\displaystyle n}$. Son fibré tangent TM est l'ensemble des couples ${\displaystyle (x,{\dot {x}})}$ avec x un point de M et ${\displaystyle {\dot {x}}}$ un vecteur tangent à M en x. On prend alors ${\displaystyle L:TM\to \mathbb {R} }$ une fonction appelée lagrangien (indépendant du temps cinématique, c'est-à-dire du paramètre cinématique intervenant dans ${\displaystyle {\dot {x}}}$). On note ${\displaystyle p_{\mu }(x,{\dot {x}})={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\in T_{x}^{*}M}$ le moment conjugué de Lagrange, une forme linéaire sur l'espace tangent à M en x.

Une symétrie du lagrangien ${\displaystyle L}$ est un difféomorphisme ${\displaystyle f:M\rightarrow M}$ tel que l'on ait ${\displaystyle L\circ \mathrm {d} f=L}$ avec ${\displaystyle \mathrm {d} f=(f,f')}$, le couple formé par f et sa dérivée. Les symétries de L forment un groupe pour la composition.

Une symétrie infinitésimale du lagrangien ${\displaystyle L}$ est un champ de vecteurs V sur M tel que le groupe de Lie à un paramètre engendré par le flot de V, ${\displaystyle s\mapsto \Phi _{s}^{V}(\cdot )}$, soit un sous-groupe des symétries de ${\displaystyle L}$.

Le théorème de Noether associe à toute symétrie infinitésimale de ${\displaystyle L}$ une intégrale première de ses équations d'Euler-Lagrange.

Théorème — Si ${\displaystyle L:TM\rightarrow \mathbb {R} }$ est un lagrangien indépendant du temps cinématique, et que ${\displaystyle V}$ est une symétrie infinitésimale de ${\displaystyle L}$, alors la fonction ${\displaystyle G}$ définie sur ${\displaystyle TM}$ par :

${\displaystyle G(x,{\dot {x}})=\langle p_{\mu }(x,{\dot {x}}),\;V(x)\rangle }$

est une intégrale première des équations d'Euler-Lagrange associée à ${\displaystyle L}$ ; c'est-à-dire que ${\displaystyle t\mapsto G(x(t),{\dot {x}}(t))}$ est constante sur une solution x(t) des équations d'Euler-Lagrange.

Démonstration

Introduisons ${\displaystyle s\mapsto \Phi _{s}}$, le groupe à un paramètre de difféomorphismes de ${\displaystyle V}$. Dérivons par rapport à ${\displaystyle s}$ en ${\displaystyle s=0}$ l'équation :

${\displaystyle L\left[\mathrm {d} \Phi _{s}(w)\right]=L(w)}$

On trouve la condition que doit satisfaire ${\displaystyle V}$ pour être une symétrie infinitésimale du lagrangien ${\displaystyle L}$ :

${\displaystyle \partial _{\mathcal {H}}L(w)(V\circ \pi (w))+\partial _{\mathcal {V}}L(w)\left[\nabla _{w}V\right]=0}$

où a été introduite une métrique riemannienne arbitraire sur ${\displaystyle M}$. Le symbole ${\displaystyle \partial _{\mathcal {H}}}$ désigne la différentielle horizontale. La dépendance de l'équation ci-dessus en la métrique est superficielle. Soit ${\displaystyle t\mapsto q(t)}$ une solution des équations d'Euler-Lagrange. Alors, il vient :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}G({\dot {q}}(t))&=\left[\nabla _{t}\partial _{\mathcal {V}}L({\dot {q}}(t))\right]\left(W(q(t))\right)+\partial _{\mathcal {V}}L({\dot {q}}(t))\left[\nabla _{t}W\circ q\right]\\&=\partial _{\mathcal {H}}L({\dot {q}}(t))\left[W(q(t))\right]+\partial _{\mathcal {H}}L({\dot {q}}(t))\left[\nabla _{t}W\circ q\right]\\&=0\end{aligned}}}$

D'où le résultat.

• Théorème de Noether (physique)
• Calcul des variations

Pierre Pansu, Cours de Géométrie différentielle, niveau Master 2 ; [PDF]