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Théorème de Koecher-Vinberg

En algèbre d'opérateurs, le théorème de Koecher-Vinberg est un théorème de reconstruction pour les algèbres de Jordan réelles. Il a été prouvé indépendamment par Max Koecher en 1957[1] et Ernest Vinberg en 1961[2]. Il permet d'établir une bijection entre les algèbres de Jordan formellement réelles et des objets appelés « domaines de positivité ».

Énoncé

Un cône convexe  est dit :

  • régulier si  quand et  sont dans l'adhérence  ;
  • autodual (dans un espace euclidien) s'il est égal à son cône dual ;
  • homogène si pour tout couple de points il existe une application linéaire  dont la restriction à est une bijection et qui vérifie .

Le théorème de Koecher-Vinberg énonce que ces précédentes propriétés caractérisent précisément les cônes positifs d'algèbres de Jordan.

Théorème Il existe une bijection entre les algèbres de Jordan formellement réelles et les cônes convexes ayant les propriétés suivantes :

  • ouvert ;
  • régulier ;
  • homogène ;
  • autodual.

Les cônes convexes vérifiant ces quatre propriétés sont appelés « domaines de positivité » ou « cônes symétriques (en) ». Le domaine positivité d'une algèbre de Jordan formellement réelle  est l'intérieur de son cône « positif » .

Preuve

Voir Koecher 1999[3] ou Faraut et Korányi 1994[4].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Koecher–Vinberg theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. (de) Max Koecher, « Positivitätsbereiche im Rn », Amer. J. Math., vol. 97, no 3, , p. 575-596 (DOI 10.2307/2372563).
  2. (en) E. B. Vinberg, « Homogeneous Cones », Soviet. Math. Dokl., vol. 1, , p. 787-790.
  3. (en) Max Koecher, The Minnesota Notes on Jordan Algebras and Their Applications, Springer, , 173 p. (ISBN 3-540-66360-6, lire en ligne).
  4. (en) Jacques Faraut et Adam Korányi, Analysis on Symmetric Cones, Oxford University Press, .
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