Théorème de Koecher-Vinberg

Un cône convexe ${\displaystyle C}$ est dit :

• régulier si ${\displaystyle a=0}$ quand ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle -a}$ sont dans l'adhérence ${\displaystyle {\overline {C}}}$ ;
• autodual (dans un espace euclidien) s'il est égal à son cône dual ${\displaystyle C^{*}}$ ;
• homogène si pour tout couple de points ${\displaystyle a,b\in C}$ il existe une application linéaire ${\displaystyle T\colon A\to A}$ dont la restriction à ${\displaystyle C}$ est une bijection ${\displaystyle C\to C}$ et qui vérifie ${\displaystyle T(a)=b}$.

Le théorème de Koecher-Vinberg énonce que ces précédentes propriétés caractérisent précisément les cônes positifs d'algèbres de Jordan.

Les cônes convexes vérifiant ces quatre propriétés sont appelés « domaines de positivité » ou « cônes symétriques (en) ». Le domaine positivité d'une algèbre de Jordan formellement réelle ${\displaystyle A}$ est l'intérieur de son cône « positif » ${\displaystyle A_{+}:=\{a^{2}\mid a\in A\}}$.

Voir Koecher 1999[3] ou Faraut et Korányi 1994[4].