Théorème d'Earnshaw

Bien qu'une démonstration dans le cas général puisse être donnée, on considère ici trois cas particuliers.

Le premier est celui d'un dipôle magnétique de moment magnétique dipolaire constant, de direction fixe. Les deux cas suivants sont ceux d'un dipôle d'orientation variable, qui s'aligne dans le sens (respectivement dans le sens inverse) des lignes de champ d'un champ magnétique externe. Dans les matériaux paramagnétiques (respectivement diamagnétiques), les dipôles sont alignés dans le sens (respectivement, dans le sens inverse) des lignes de champ.

Les lemmes établis dans cette section seront utiles à l'étude des cas particuliers suivants.

L'énergie U d'un dipôle magnétique M dans un champ magnétique externe B est

${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)\,}$

Le dipôle sera stable si et seulement si son énergie atteint un minimum, c’est-à-dire si le laplacien de l'énergie est positif :

${\displaystyle \Delta U=\nabla ^{2}U={\partial ^{2}U \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}U \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}U \over \partial z^{2}}>0}$

Enfin, puisqu'à la fois la divergence et le rotationnel d'un champ magnétique sont nuls en l'absence de courants et de variations du champ électrique, les laplaciens des composantes du champ magnétique sont nuls :

${\displaystyle \Delta B_{x}=\Delta B_{y}=\Delta B_{z}=0\,}$

Une démonstration sera donnée à la toute fin de cet article.

L'énergie du dipôle d'orientation fixe et de moment constant est :

${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} \,}$

Dans ce cas, le laplacien de l'énergie est toujours nul :

${\displaystyle \Delta U=0\,}$

Le dipôle est ainsi privé de minimum (et de maximum) d'énergie : il n'y a aucun point de l'espace stable dans toutes les directions, ou instable dans toutes les directions.

Les dipôles alignés en sens direct ou indirect avec le champ externe correspondent respectivement aux matériaux paramagnétiques et diamagnétiques. L'énergie est alors donnée par :

${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} \,}$

Où k est une constante positive pour les matériaux paramagnétiques, et négative pour les matériaux diamagnétiques. Alors :

${\displaystyle \Delta \left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\geq 0\,}$

On montre ainsi que les matériaux paramagnétiques possèdent un maximum (mais pas de minimum) d'énergie, et inversement pour les matériaux diamagnétiques.

Enfin, le moment magnétique d'un aimant aligné avec le champ est donné par :

${\displaystyle \mathbf {M} =k{\mathbf {B} \over \left|\mathbf {B} \right|}\,}$

Son énergie est :

${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k{\mathbf {B} \over \left|\mathbf {B} \right|}\cdot \mathbf {B} =-k{\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right) \over \left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)^{1/2}}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)^{1/2}}$

Il s'agit justement de la racine carrée de l'énergie du cas paramagnétique (ou diamagnétique) discuté ci-dessus. La fonction racine carrée étant strictement croissante, elle induit une bijection qui conserve les maxima et minima obtenus dans les cas paramagnétiques ou diamagnétiques.

On ne connait cependant aucune configuration stable d'aimants permettant la lévitation : il doit exister d'autres raisons qui s'opposent au maintien de dipôles anti-alignés avec un champ (sans mouvement rotatoire, voir Levitron (en)).

Nous allons montrer qu'en tout point de l'espace :

${\displaystyle \Delta U={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0}$

L'énergie U du dipôle M soumis à un champ externe est encore :

${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} }$

Le laplacien de l'énergie est alors :

${\displaystyle \Delta U=-\left[{\frac {\partial ^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})}{\partial z^{2}}}\right]}$

En développant, puis en réduisant les termes du laplacien, si M est une constante, on obtient :

${\displaystyle \Delta U=-\left(M_{x}\left({\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial z^{2}}}\right)+M_{y}\left({\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial z^{2}}}\right)+M_{z}\left({\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial z^{2}}}\right)\right)}$

soit

${\displaystyle \Delta U=-\left(M_{x}\Delta B_{x}+M_{y}\Delta B_{y}+M_{z}\Delta B_{z}\right)\,}$

mais les laplaciens des composantes du champ magnétique sont nuls dans le vide (en l'absence de radiations). La démonstration s'achève donc en obtenant :

${\displaystyle \Delta U=-\left(M_{x}0+M_{y}0+M_{z}0\right)=0\,}$

Le cas d'un dipôle paramagnétique (ou diamagnétique) est considéré tout d'abord. Son énergie est donnée par :

${\displaystyle U=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\,}$

En développant puis en réduisant son expression, on obtient :

${\displaystyle \Delta \left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)=2\left[\left|\nabla B_{x}\right|^{2}+\left|\nabla B_{y}\right|^{2}+\left|\nabla B_{z}\right|^{2}+B_{x}\nabla ^{2}B_{x}+B_{y}\nabla ^{2}B_{y}+B_{z}\nabla ^{2}B_{z}\right]}$

mais puisque le laplacien de chaque composante est nul dans le vide :

${\displaystyle \Delta \left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)=2\left[\left|\nabla B_{x}\right|^{2}+\left|\nabla B_{y}\right|^{2}+\left|\nabla B_{z}\right|^{2}\right]}$

Enfin, puisque le carré d'un nombre réel est positif, on obtient :

${\displaystyle \nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\geq 0}$

On montre dans cette section que le laplacien de chaque composante du champ magnétique est nul. Nous aurons besoin de faire appel aux propriétés des champs magnétiques, tels que la divergence nulle et le rotationnel nul en l'absence de courant et de radiations, qui découlent des équations de Maxwell.

Le laplacien de la composante selon x du champ magnétique est :

${\displaystyle \Delta B_{x}={\partial ^{2}B_{x} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over \partial z^{2}}={\partial \over \partial x}{\partial \over \partial x}B_{x}+{\partial \over \partial y}{\partial \over \partial y}B_{x}+{\partial \over \partial z}{\partial \over \partial z}B_{x}}$

Le rotationnel de B étant nul,

${\displaystyle {\partial B_{x} \over \partial y}={\partial B_{y} \over \partial x}}$

et

${\displaystyle {\partial B_{x} \over \partial z}={\partial B_{z} \over \partial x}}$

On a donc :

${\displaystyle \Delta B_{x}={\partial \over \partial x}{\partial \over \partial x}B_{x}+{\partial \over \partial y}{\partial \over \partial x}B_{y}+{\partial \over \partial z}{\partial \over \partial x}B_{z}}$

Or, ${\displaystyle B_{x}}$ est différentiable (et on fait l'hypothèse qu'il le soit infiniment). Alors :

${\displaystyle \Delta B_{x}={\partial \over \partial x}\left({\partial B_{x} \over \partial x}+{\partial B_{y} \over \partial y}+{\partial B_{z} \over \partial z}\right)={\partial \over \partial x}\left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)}$

La divergence de B est nulle, donc constante :

${\displaystyle \Delta B_{x}={\partial \over \partial x}\left(\nabla \cdot \mathbf {B} =0\right)=0}$

Il en est de même pour les composantes selon y et z du champ magnétique.