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Théorème d'Abel (analyse)

En mathématiques, le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, portant le nom de Niels Henrik Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.

Énoncé

Théorème Si une série entière converge en un point , alors la convergence est uniforme sur (donc la fonction somme de la série est continue sur ce segment).

La démonstration[1] repose sur la méthode classique de sommation par parties, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales.

Remarque : dans le cas où la série est absolument convergente, le résultat est trivial. En effet, sous cette hypothèse, converge même normalement sur le disque fermé de centre et de rayon .

Exemples

  • Soit la série de Mercator
    pour .
    Comme la série harmonique alternée converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on déduit sa somme du théorème d'Abel :
    .
  • Soit
    pour .
    Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que converge, d'où la formule de Leibniz :
    .
  • Soient et deux séries convergentes et leur produit de Cauchy :
    .
    On déduit du théorème d'Abel[2] que si la série converge alors sa somme est égale au produit des deux sommes et :
    .

Réciproque partielle

Tauber[3] a démontré en 1897[4] que sous l'hypothèse an = o(1/n), si la limite radiale existe, alors la série converge et lui est égale. Ce résultat a été amélioré par Littlewood : l'hypothèse an = O(1/n) suffit[5]. Le théorème taubérien de Hardy-Littlewood en est une généralisation.

Notes et références

  1. Voir par exemple la section correspondante de la leçon « Série entière » sur Wikiversité.
  2. Voir par exemple le chapitre « Produit de Cauchy » de la leçon sur les séries sur Wikiversité.
  3. (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Alfred Tauber », sur MacTutor, université de St Andrews.
  4. (de) A. Tauber, « Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen », Monatshefte für Mathematik, vol. 8, , p. 273-277 (JFM 28.0221.02, lire en ligne).
  5. Ceci fournit un autre argument pour traiter les deux premiers exemples ci-dessus.

Articles connexes

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