Théorème d'Abel (analyse)

La démonstration[1] repose sur la méthode classique de sommation par parties, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales.

Remarque : dans le cas où la série ${\displaystyle \sum a_{n}z_{0}^{n}}$ est absolument convergente, le résultat est trivial. En effet, sous cette hypothèse, ${\displaystyle \sum a_{n}z^{n}}$ converge même normalement sur le disque fermé de centre ${\displaystyle 0}$ et de rayon ${\displaystyle \left|z_{0}\right|}$.

• Soit la série de Mercator${\displaystyle f(x)=-\sum _{n\geq 1}{\frac {(-x)^{n}}{n}}=\ln(1+x)}$ pour ${\displaystyle |x|<1}$.Comme la série harmonique alternée${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}}$ converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on déduit sa somme du théorème d'Abel :${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}=-\lim _{1^{-}}f=-\ln 2}$.
• Soit ${\displaystyle g(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan x}$ pour ${\displaystyle |x|<1}$.Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$ converge, d'où la formule de Leibniz :${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=\lim _{1^{-}}g=\arctan 1={\frac {\pi }{4}}}$.
• Soient ${\displaystyle \Sigma a_{n}}$ et ${\displaystyle \Sigma b_{n}}$ deux séries convergentes et ${\displaystyle \Sigma c_{n}}$ leur produit de Cauchy :${\displaystyle c_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$.On déduit du théorème d'Abel[2] que si la série ${\displaystyle \Sigma c_{n}}$ converge alors sa somme est égale au produit des deux sommes ${\displaystyle A=\Sigma a_{n}}$ et ${\displaystyle B=\Sigma b_{n}}$ :${\displaystyle \Sigma c_{n}=C\Rightarrow C=AB}$.

Tauber[3] a démontré en 1897[4] que sous l'hypothèse a_n = o(1/n), si la limite radiale existe, alors la série converge et lui est égale. Ce résultat a été amélioré par Littlewood : l'hypothèse a_n = O(1/n) suffit[5]. Le théorème taubérien de Hardy-Littlewood en est une généralisation.

• Série divergente
• Théorèmes abéliens et taubériens