Système d'ordre fractionnaire

Un système dynamique général d'ordre fractionnaire peut s'écrire sous la forme suivante[3] :

${\displaystyle H(D^{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}})(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{l})=G(D^{\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n}})(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k})}$

où ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle G}$ sont des fonctions de l'opérateur de dérivée fractionnaire ${\displaystyle D}$ d'ordre ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}}$, et où ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n}}$ et ${\displaystyle y_{i}}$ et ${\displaystyle u_{j}}$ sont des fonctions du temps. Un cas particulier courant est le système linéaire invariant dans le temps (LTI) à une variable :

${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{m}a_{k}D^{\alpha _{k}}\right)y(t)=\left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}D^{\beta _{k}}\right)u(t)}$

Les ordres ${\displaystyle \alpha _{k}}$ et ${\displaystyle \beta _{k}}$ sont en général des quantités complexes. Cependant, les deux cas particuliers où les ordres sont proportionnels ou rationnels sont intéressants :

${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}=k\delta ,\quad \delta \in R^{+}}$

${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}=k\delta ,\quad \delta ={\frac {1}{q}},q\in Z^{+}}$

Lorsque ${\displaystyle q=1}$, les dérivées sont d'ordre entier et le système devient une équation différentielle ordinaire. Ainsi, en augmentant la spécialisation, les systèmes LTI peuvent être d'ordre général, d'ordre proportionnel, d'ordre rationnel ou d'ordre entier.

Les lois exponentielles sont une approche classique pour étudier la dynamique des densités de population. Cependant, il existe de nombreux systèmes dont la dynamique suit des lois plus rapides ou plus lentes que les lois exponentielles. Dans ces cas, les fonctions de Mittag-Leffler peuvent mieux décrire les changements anormaux de dynamique[5].

La diffusion anormale est un autre système dynamique où les systèmes d'ordre fractionnaire jouent un rôle important pour décrire le flux anormal dans le processus de diffusion.

La viscoélasticité est une propriété d'un matériau qui n'est ni totalement élastique, ni totalement fluide. Dans le cas de matériaux réels, la relation entre contrainte et déformation, telle que décrite par la loi de Hooke et la loi de Newton, présente des inconvénients évidents. Ainsi, G.W. Scott Blair a introduit une nouvelle relation entre stress et tension comme suit :

${\displaystyle \sigma (t)=E{D_{t}^{\alpha }}\varepsilon (t),\quad 0<\alpha <1.}$

Dans la théorie du chaos, il a été observé que le chaos se produit dans les systèmes dynamiques d'ordre 3 ou plus. L'introduction des systèmes d'ordre fractionnaire permet à certains chercheurs d'étudier le chaos dans des systèmes d'ordre total inférieur à 3[6].

Considérons le problème de valeur initiale d'ordre fractionnaire suivant :

${\displaystyle {_{0}^{C}D_{t}^{\alpha }}x(t)=f(t,x(t)),\quad t\in [0,T],\quad x(0)=x_{0},\quad 0<\alpha <1.}$

• Atténuation acoustique
• Calcul différentiel
• Analyse fractionnaire
• Applications du calcul fractionnaire dans le contrôle automatique et la robotique : Un tutoriel sur le calcul fractionnaire, les systèmes d'ordre fractionnaire et la théorie du contrôle d'ordre fractionnaire.

• V.E. Tarasov, Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media, Springer, 2010 (ISBN 978-3-642-14003-7)
• R. Caponetto, G. Dongola, L. Fortuna et I. Petras, Fractional Order Systems: Modeling and Control Applications, World Scientific, 2010 (Bibcode 2010fosm.book.....C, lire en ligne [archive du 25 mars 2012])
• Fractional Dynamics. Recent Advances, World Scientific, 2011 (ISBN 978-981-4340-58-8, DOI 10.1142/8087)
• Recent Advances in Applied Nonlinear Dynamics with Numerical Analysis: Fractional Dynamics, Network Dynamics, Classical Dynamics and Fractal Dynamics with Their Numerical Simulations, vol. 15, World Scientific, coll. « Interdisciplinary Mathematical Sciences », 2013 (ISBN 978-981-4436-45-8, DOI 10.1142/8637)
• Igor Podlubny, Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications, Elsevier, 27 octobre 1998 (ISBN 978-0-08-053198-4, lire en ligne)
• Kenneth S. Miller, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, Wiley, 1993 (ISBN 0-471-58884-9)
• Keith B. Oldham et Jerome Spanier, The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order, vol. V, Academic Press, coll. « Mathematics in Science and Engineering », 1974 (ISBN 0-12-525550-0)