Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée

L'article contient d'abord des définitions, des arguments heuristiques, des esquisses de preuves et l'application de méthodes analytiques puissantes ; toutes celles-ci sont devenues des concepts essentiels et des outils de la théorie analytique des nombres moderne.

Parmi les nouvelles définitions introduites :

• le prolongement analytique de la fonction zêta de Riemann ζ(s) à tous les nombres complexes s différents de 1 ;
• la fonction entière ξ(s) ;
• la fonction discrète J(x) définie pour x ≥ 0, qui est définie par J(0) = 0 et telle que J(x) saute par bonds de 1/n à chaque puissance de nombre premier pⁿ (autrement dit, entre deux puissances de nombres premiers p^m et qⁿ, J est constante, et J(qⁿ) = J(p^m) + 1/n).

Parmi les preuves et les esquisses de preuves :

• deux preuves de l'équation fonctionnelle de ζ(s) ;
• la preuve de la représentation par produit de ξ(s) ;
• la preuve de l'approximation du nombre de racines de ξ(s) dont les parties imaginaires sont situées entre 0 et T.

Parmi les conjectures produites :

• l'hypothèse de Riemann : tous les zéros (non triviaux) de ζ(s) ont une partie réelle égale à 1/2.

De nouvelles méthodes et techniques utilisées en théorie des nombres :

• prolongement analytique (différent du sens de Weierstrass) ;
• intégrale curviligne ;
• inversion de Fourier.

Riemann discuta aussi des relations entre ζ(s) et la distribution des nombres premiers, utilisant la fonction J(x) essentiellement comme une mesure pour l'intégration de Stieltjes. Il obtint alors le résultat principal de l'article, une formule pour J(x), par comparaison avec ln(ζ(s)). Riemann essaya alors d'élaborer une formule approximative pour la fonction de compte des nombres premiers π(x), bien qu'il admît lui-même être conscient du défaut de ses arguments.

L'article a eu une telle influence que la notation ${\displaystyle s=\sigma +it\,}$ est utilisée pour noter un nombre complexe lors de l'étude de la fonction zêta à la place de la notation habituelle ${\displaystyle z=x+iy\,}$ .

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude » (voir la liste des auteurs).
• (en) H. M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Dover, 1974, 315 p. (ISBN 978-0-486-41740-0, lire en ligne)