Suite de Farey

La suite de Farey d'ordre ${\displaystyle n}$ contient tous les éléments des suites de Farey d'ordre inférieur. En particulier, ${\displaystyle F_{n}}$ contient tous les éléments de la suite ${\displaystyle F_{n-1},}$ ainsi qu'une fraction supplémentaire pour chaque entier inférieur à ${\displaystyle n}$ et premier avec ${\displaystyle n.}$ Par exemple, la suite ${\displaystyle F_{6}}$ est composée des éléments de la suite ${\displaystyle F_{5}}$ auxquels il faut ajouter les fractions ${\displaystyle 1/6}$ et ${\displaystyle 5/6.}$ Le terme médian d'une suite de Farey est toujours ${\displaystyle 1/2,}$ lorsque ${\displaystyle n>1.}$

Le nombre de termes de ${\displaystyle F_{n}}$ (noté ${\displaystyle |F_{n}|}$) est donc égal à celui de ${\displaystyle F_{n-1}}$ augmenté du nombre de nombres inférieurs à ${\displaystyle n}$ et premiers avec lui ; en utilisant l'indicatrice d'Euler ${\displaystyle \varphi \,}$ ceci s'écrit :

${\displaystyle |F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n)}$

En utilisant le fait que ${\displaystyle |F_{1}|=2,}$ le nombre de termes de ${\displaystyle F_{n}}$ peut donc s'exprimer en fonction de ${\displaystyle n}$ de la façon suivante :

${\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)}$

Le comportement asymptotique de ${\displaystyle |F_{n}|}$ est donné par l'équivalence :

${\displaystyle |F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}}$

Deux fractions consécutives dans une suite de Farey ${\displaystyle F_{n}}$ sont dites voisines ou consécutives à l'ordre ${\displaystyle n.}$ Par exemple les fractions ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 2/3}$ sont voisines aux ordres 5, 6 et 7.

La notion de voisinage est relative à la suite considérée: deux fractions voisines à l'ordre ${\displaystyle n}$ peuvent ne plus l'être à l'ordre ${\displaystyle p}$ pour un ${\displaystyle p}$ plus grand. Par exemple ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 2/3}$ ne sont plus voisines dans ${\displaystyle F_{8}}$ puisque ${\displaystyle 5/8}$ est venue s'intercaler entre les deux.

Mathématiquement, deux fractions irréductibles ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ sont voisines à l'ordre ${\displaystyle n}$ si ${\displaystyle a/b<a'/b'}$ et s'il n'y a aucune autre fraction dans ${\displaystyle F_{n}}$ qui soit comprise entre ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle a'/b',}$ c'est-à-dire si pour toute fraction ${\displaystyle c/d}$ telle que ${\displaystyle a/b<c/d<a'/b'}$ on a ${\displaystyle d>n.}$

La propriété fondamentale des suites de Farey est une caractérisation très simple de la relation de voisinage :

Deux fractions irréductibles ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ sont consécutives à l'ordre ${\displaystyle \max(b,b')}$ si et seulement si la relation ${\displaystyle a'b-ab'=1}$ est vérifiée.

En divisant les deux membres par ${\displaystyle bb'}$ on voit que la relation peut également s'écrire :

${\displaystyle {\frac {a'}{b'}}-{\frac {a}{b}}={\frac {1}{bb'}}.}$

La quantité ${\displaystyle a'b-ab'}$ est parfois appelée produit en croix ou déterminant des deux fractions ; elle dépend de la représentation choisie des deux fractions, aussi il faut bien supposer dans la propriété ci-dessus que les deux fractions sont en forme irréductibles (ce qui est implicite dans la définition de consécutives). Par exemple si on considère les fractions ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 2/3}$ qui sont voisines dans ${\displaystyle F_{5}}$, leur produit en croix est ${\displaystyle 2\times 5-3\times 3}$ qui est bien égal à ${\displaystyle 1.}$ Mais si on considère une représentation non irréductible des deux mêmes fractions, par exemple ${\displaystyle 9/15}$ et ${\displaystyle 4/6,}$ alors leur produit en croix est ${\displaystyle 4\times 15-9\times 6=6.}$

Attention également à la condition sur l'ordre de la suite de Farey considérée : le fait que la relation est vérifiée n'implique pas que les deux fractions sont voisines dans toutes les suites de Farey ; en fait on va voir qu'elles sont voisines jusqu'à l'ordre ${\displaystyle b+b'-1}$ mais plus à partir de ${\displaystyle b+b'}$. Ainsi ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 2/3}$ sont voisines aux ordres ${\displaystyle 5=\max(5,3),}$ ${\displaystyle 6}$ et ${\displaystyle 7}$ mais plus à l'ordre ${\displaystyle 8=5+3.}$

La seconde propriété fondamentale des suites de Farey est que l'on peut facilement déterminer la première fraction à venir s'intercaler entre deux voisines:

Si ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ sont consécutives dans la suite d'ordre ${\displaystyle \max(b,b')}$ et si ${\displaystyle c/d}$ est la fraction médiane:

${\displaystyle {\frac {c}{d}}={\frac {a+a'}{b+b'}}}$

alors les fractions ${\displaystyle a/b,}$ ${\displaystyle c/d}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ sont consécutives dans la suite d'ordre ${\displaystyle b+b'.}$

Par exemple si on reprend les deux fractions ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 2/3}$ voisines dans ${\displaystyle F_{5},}$ on a vu que la première fraction à s'intercaler est ${\displaystyle 5/8}$ qui est bien la médiane.

Interprétation géométrique de la médiane de deux fractions

L'emploi du terme médiane s'explique géométriquement : on se place dans le plan euclidien, on nomme ${\displaystyle O}$ l'origine du repère ; à la fraction ${\displaystyle a/b}$ on associe le point ${\displaystyle A}$ de coordonnées ${\displaystyle (b,a)}$ ; ainsi ${\displaystyle a/b}$ est la pente de la droite du plan ${\displaystyle (OA)}$ issue de ${\displaystyle O}$ et passant par ${\displaystyle A.}$ Si ${\displaystyle A'}$ est le point de coordonnées ${\displaystyle (b',a')}$ associé à la fraction ${\displaystyle a'/b'}$alors le milieu de ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle A'}$ a pour coordonnées ${\displaystyle (b+b')/2}$ et ${\displaystyle (a+a')/2}$ ; on voit que la fraction médiane ${\displaystyle (a+a')/(b+b')}$ est alors la pente de la médiane issue de ${\displaystyle O}$ du triangle ${\displaystyle (OAA').}$

La propriété se démontre en utilisant la caractérisation des fractions voisines vue précédemment; de plus sous les hypothèses ci-dessus, notamment que ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ sont irréductibles, la fraction médiane ${\displaystyle (a+a')/(b+b')}$ est automatiquement irréductible également.

La médiane est parfois également appelée somme du cancre ce qui est trompeur car, comme le produit en croix, elle dépend des représentations des fractions. Si on reprend l'exemple du produit en croix on a: ${\displaystyle 3/5=9/15}$ et ${\displaystyle 2/3=4/6}$. Dans ce cas, on voit que les médianes de ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 2/3}$, d'une part, et de ${\displaystyle 9/15}$ et ${\displaystyle 4/6}$ d'autre part (égales respectivement à ${\displaystyle 5/8}$ et ${\displaystyle 13/21}$), ne sont pas égales. Comme pour le produit en croix on se restreindra à ne calculer les médianes que lorsque les fractions sont en forme irréductible de façon à lever toute ambiguïté.

La propriété admet une réciproque : si ${\displaystyle a/b,}$ ${\displaystyle c/d}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ sont consécutives dans une suite d'ordre ${\displaystyle n}$, alors ${\displaystyle c/d}$ est la médiane de ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ ; il se peut toutefois, lorsque ${\displaystyle a/b}$ et ${\displaystyle a'/b'}$ ne sont pas voisines, que cette fraction médiane ne soit pas irréductible. Par exemple si on considère les trois fractions ${\displaystyle 3/5,}$ ${\displaystyle 2/3}$ et ${\displaystyle 5/7}$ qui sont consécutives dans la suite ${\displaystyle F_{7}}$ la fraction médiane de ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 5/7}$ est ${\displaystyle 8/12}$ qui n'est pas irréductible mais redonne ${\displaystyle 2/3}$ après simplification. De fait ${\displaystyle 3/5}$ et ${\displaystyle 5/7}$ ne sont voisines dans aucune suite.

Il existe également une caractérisation du voisinage en termes de fraction continue : si ${\displaystyle a/b}$ admet le développement en fraction continue :

${\displaystyle [a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n},1]}$

alors ses deux voisines dans la suite d'ordre ${\displaystyle b}$ ont pour développement en fraction continue :

${\displaystyle [a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n}]}$

${\displaystyle [a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n-1}]}$

Ainsi ${\displaystyle 3/8}$ a pour développement en fraction continue ${\displaystyle [0,2,1,1,1],}$ et ses voisines dans ${\displaystyle F_{8}}$ sont ${\displaystyle 2/5}$ qui admet le développement ${\displaystyle [0,2,1,1]}$ et ${\displaystyle 1/3}$ qui se développe en ${\displaystyle [0,2,1].}$

La propriété de la médiane est à la base de la construction de l'arbre de Stern-Brocot, une structure énumérant les fractions irréductibles obtenue en itérant l'opération de médiane à partir de 0 (= ${\displaystyle 0/1}$) et l'infini (= ${\displaystyle 1/0}$)

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Il existe une relation intéressante entre les suites de Farey et les cercles de Ford.

Pour toute fraction (réduite) ${\displaystyle p/q}$ il existe un cercle de Ford ${\displaystyle C[p/q],}$ qui est le cercle de rayon ${\displaystyle 1/2q^{2}}$ et de centre ${\displaystyle (p/q,1/2q^{2}).}$ Les cercles de Ford correspondant à deux fractions distinctes sont soit disjoints soit tangents - deux cercles de Ford ne peuvent pas être sécants. Si ${\displaystyle 0<p/q<1,}$ alors les cercles de Ford qui sont tangents à ${\displaystyle C[p/q]}$ sont précisément les cercles de Ford associés aux fractions qui sont voisines de ${\displaystyle p/q}$ dans une suite de Farey.

Ainsi ${\displaystyle C[2/5]}$ est tangent à ${\displaystyle C[1/2],}$ ${\displaystyle C[1/3],}$ ${\displaystyle C[3/7],}$ ${\displaystyle C[3/8],}$ etc.

Les suites de Farey sont utilisées dans deux formulations équivalentes de l'hypothèse de Riemann. Supposons que les termes de ${\displaystyle F_{n}\,}$ soient ${\displaystyle \{a_{k,n}:k=0,1,\ldots m_{n}\}.}$ Définissons ${\displaystyle d_{k,n}=a_{k,n}-k/m_{n},}$ en d'autres termes ${\displaystyle d_{k,n}}$ est la différence entre le k-ième terme de la n-ième suite de Farey, et le k-ième élément d'un ensemble de même nombre de points, distribués également sur l'intervalle unité. Jérôme Franel[3] a démontré que l'assertion :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m_{n}}d_{k,n}^{2}=O(n^{r})\quad \forall r>-1}$

est équivalente à l'hypothèse de Riemann, puis Landau[4] a remarqué, à la suite de l'article de Franel, que l'assertion :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|=O(n^{r})\quad \forall r>1/2}$

lui est également équivalente.

(${\displaystyle O(n^{r})}$ est la notation de domination de Landau).